Распределение (2.
Пусть имеется n независимых случайных величин (1, (2, ..., (n,
распределенных по нормальному закону с математическим ожиданием, равным
нулю, и дисперсией, равной единице. Тогда случайная величина
распределена по закону, который называется “распределение (2” или
“распределение Пирсона”. Очевидно, что она может принимать лишь
неотрицательные значения. Число n называется числом степеней свободы.
При n > 1 график плотности распределения случайной величины (2
представляет собой кривую, изображенную на рисунке 1.
Для того, чтобы определить вероятность попадания случайной величины (2
в какой-либо промежуток из множества положительных чисел, пользуются
таблицей распределения (2. Обычно такая таблица позволяет
|q |0,99 |0,975 |0,95 |...|0,1 |0,05 |0,01 |
|n | | | | | | | |
|1 |0,0315|0,0398|0,0239|...|2,71 |3,84 |6,63 |
|...|... |... |... |...|... |... |... |
|10 |2,56 |3,25 |3,94 |...|16,0 |18,3 |23,2 |
|...|... |... |... |...|... |... |... |
Таблица 1.
по вероятности q и по числу степеней свободы n определить так называемый
квантиль (q2, если q и (q2 связаны соотношением
P((2 > (q2) = q.
Эта формула означает: вероятность того, что случайная величина (2 примет
значение, большее чем определенное значение (q2, равна q.
Таблица 1 представляет собой фрагмент таблицы распределения (2. Из
него видно, что случайная величина (2 с 10-ю степенями свободы с
вероятностью q = 0,95 принимает значение, большее 3,94, а та же величина с
одной степенью свободы с вероятностью q = 0,975 превышает 0,00098.
Задача. Найти интервал ((12, (22), в который случайная величина (2 с
10-ю степенями свободы попадает с вероятностью, равной 0,9.
Решение. График плотности распределения (2 с 10-ю степенями свободы
схематично изображен на рисунке 2. Будем считать, что площади
заштрихованных областей (правая область не ограничена справа) равны между
собой. Примем условия:
P((2 < (12) = P((2 > (22) = (1 - 0,9)/2 = 0,05, (1)
тогда P((12 < (2 < (22) = 0,9.
Равенства (1) сразу позволяют по таблице определить: (22 = 18,3. Для
определения левой границы интересующего нас интервала придется
воспользоваться очевидным равенством P((2 > (12) = 0,95. Из таблицы 1.
определяем: (12 = 3,94 , и теперь можно сформулировать ответ задачи:
значение случайной величины (2 с вероятностью 0,9 принадлежит интервалу
(3,94; 18,3).
Распределение Стьюдента.
Многие задачи статистики приводят к случайной величине вида
,
где ( и ( – независимые случайные величины, причем ( – нормально
распределенная случайная величина с параметрами M( = 0 и D( = 1, а (
распределена по закону (2 c k степенями свободы.
Закон распределения случайной величины t называется законом
распределения Стьюдента с k степенями свободы.
График плотности распределения для закона Стьюдента схематически
изображен на рисунке 3. Кривая плотности распределения схожа с аналогичной
кривой для нормального распределения.
Таблицы распределения Стьюдента позволяют при данном числе степеней
свободы k по вероятности q определить значение tq, для которого выполняется
соотношение P((t( > tq) = q. Фрагмент такой таблицы представляет собой
таблица 2.
| q|0,1 |0,05 |... |0,01 |0,005 |... |
| | | | | | | |
|k | | | | | | |
|1 |6,314 |12,71 |... |63,57 |318 |... |
|... |... |... |... |... |... |... |
|12 |1,782 |2,179 |... |3,055 |3,428 |... |
|... |... |... |... |... |... |... |
|Таблица 2 |
Задача. Найти симметричный интервал, в который случайная величина,
распределенная по закону Стьюдента с 12-ю степенями свободы, попадает
вероятностью 0,9.
Решение. Очевидны соотношения:
P(–x < t < x) = P((t( < x) = 1 – P((t( ( x) = 0,9.
Из последнего равенства следует:
P((t( ( x) = 0,1 , (n = 12).
Определяем из таблицы: x = 1,782. Нестрогое неравенство в скобках в левой
части последней формулы нас не должно смущать, так как мы имеем дело с
непрерывной случайной величиной, и вероятность того, что она примет
конкретное значение, равна нулю.
Задача. Найти значение x из условия P(t > x) = 0,995 , где t –
случайная величина, распределенная по закону Стьюдента с 12-ю степенями
свободы.
Решение. На рисунке 4 изображен график плотности распределения
Стьюдента с 12-ю степенями свободы. Вероятность того, что случайная
величина примет значение из области справа от точки x1 равна 0,995 ,
следовательно в область левее этой точки случайная величина попадает с
вероятностью 0,005. Чтобы найти x1, рассмотрим две симметричные области,
изображенные на рисунке 5. Допустим, что в каждой из этих областей значение
случайной величины оказывается с вероятностью 0,005. Тогда получаем: x1= –
x,
x2 = x, причем x определяется из условия
P((t( > x) = 0,01. Из таблицы 2 находим: x = 3,055. Теперь можно выписать
ответ задачи:
P(t > –3,055) = 0,995.
Распределение Фишера.
Важные приложения имеет в статистике случайная величина
,
где ( – случайная величина, распределенная по закону (2 с k1 степенями
свободы, а ( – случайная величина, распределенная по закону (2 с k2
степенями свободы.
Случайная величина F распределена по закону, называемому законом
распределения Фишера с k1 и k2 степенями свободы. При заданных числах k1 и
k2 и по вероятности q по таблице определяется значение Fq такое, что
P(F > Fq) = q.
Обычно таблицы составляются для значений q, равных 0,05 или 0,01, а
иногда для обоих этих значений. Фрагмент такой таблицы представляет собой
таблица 3.
| |1 |... |10 |... |20 |... |
|k1 | | | | | | |
|k2 | | | | | | |
|1 |161,4 |... |241,9 |... |248 |... |
| |647,8 | |6056 | |6209 | |
|... |... |... |... |... |... |... |
|10 |4,96 |... |2,97 |... |2,77 |... |
| |10,04 | |4,85 | |4,41 | |
|... |... |... |... |... |... |... |
|Таблица 3. |
В этой таблице в верхней части каждой клетки дается значение Fq при q
= 0,05 , а в нижней части — при q = 0,01.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
