Биномиальный закон распределения.
Пусть заданы числа n ( N и p (0( p ( 1). Тогда каждому целому числу из
промежутка [0; n] можно поставить в соответствие вероятность, рассчитанную
по формуле Бернулли. Получим закон распределения случайной величины
(назовём её ()
|( |0 |( |k |( |n |
|Р |( |( | |( |( |
Будем говорить, что случайная величина ( распределена по закону Бернулли.
Такой случайной величиной является частота появления события А в n
повторных независимых испытаниях, если в каждом испытании событие А
происходит с вероятностью p.
Рассмотрим отдельное i-е испытание. Пространство элементарных исходов
для него имеет вид
Определим на этом пространстве случайную величину (i следующим образом:
(i = 1, если происходит событие А;
(i = 0, если происходит событие
Закон распределения случайной величины (i рассматривался в предыдущем
параграфе.
|(i |1 |0 |
|Р |p |q = 1–p|
M( = (р; D( = рq
Для i = 1,2,(,n получаем систему из n независимых случайных величин (i,
имеющих одинаковые законы распределения. Если теперь сравнить законы
распределения двух случайных величин ( и , то можно сделать очевидный
вывод: ( = . Отсюда следует, что для случайной величины (, имеющей
закон распределения Бернулли, математическое ожидание и дисперсия
определяются формулами
M( = M= = = np;
D( = D= = = npq
Найдём оценку величины р — вероятности успеха в одном испытании некоторого
биномиального эксперимента. Для этого проведём n испытаний и подсчитаем х –
число успехов. Оценку р* неизвестной величины р определим формулой р* =
.
Пример.
Из 20 отобранных для контроля образцов продукции 4 оказались
нестандартными. Оценим вероятность того, что случайно выбранный экземпляр
продукции не отвечает стандарту отношением р* = 4/20 = 0,2.
Так как х случайная величина, р* – тоже случайная величина. Значения
р* могут меняться от одного эксперимента к другому (в рассматриваемом
случае экспериментом является случайный отбор и контроль 20-ти экземпляров
продукции). Каково математическое ожидание р*? Поскольку х есть случайная
величина, обозначающая число успехов в n испытаниях по схеме Бернулли, Мx
= np. Для математического ожидания случайной величины р* по определению
получаем: Mp* = M, но n здесь является константой, поэтому по свойству
математического ожидания
Mp* =
Таким образом, “в среднем” получается истинное значение р, чего и следовало
ожидать. Это свойство оценки р* величины р имеет название: р* является
несмещённой оценкой для р. Отсутствие систематического отклонения от
величины оцениваемого параметра р подтверждает целесообразность
использования величины р* в качестве оценки. Вопрос о точности оценки пока
оставляем открытым.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
