Сборник Лекций 2 по Мат.Анализу .


                       §4. Производная по направлению.

      Пусть  в  плоскости   XOY   расположена   точка   M0(x0,y0).   Зададим
произвольный угол ( и  рассмотрим  множество  точек  на  той  же  плоскости,
координаты которых определяются из формул

      x = x0 + t cos(, y = y0 + t sin(. (1)

Здесь t - параметр, который может быть равен  любому числу.  Из  формул  (1)
следует:

      (y - y0)/(x - x0) = tg(

Это  означает,  что  все  точки  M(x,y),  координаты  которых  удовлетворяют
равенствам  (1),  лежат  на  прямой,  проходящей  через  точку  M0(x0,y0)  и
составляющей  угол  (  с  осью  OX.   Каждому   значению   t   соответствует
единственная точка M(x,y), лежащая на этой прямой, причем  согласно  формуле
(1) из §1 расстояние  между  точками  M0(x0,y0)  и  M(x,y)  равно  t.  Можно
считать эту прямую числовой осью с положительным направлением,  определяемым
возрастанием параметра  t.  Обозначим  положительное  направление  этой  оси
символом l.
      Производной функции z = f(x,y) в  точке  M0(x0,y0)  по  направлению  l
называется число

      .     (2)

      Производной  функции  по   направлению   можно   дать   геометрическую
интерпретацию. Если через прямую l,  определяемую  формулами  (1),  провести
вертикальную плоскость P (на самом деле в трехмерном пространстве  уравнения
(1)  определяют  эту  самую  плоскость),  то   эта   плоскость     пересечет
поверхность-график функции z = f(x,y) вдоль

некоторой пространственной  кривой  L.  Тангенс  угла  между  горизонтальной
плоскостью и  касательной к этой кривой в точке M0(x0,y0) равен  производной
функции в этой точке по направлению l.

      В  любом  курсе   математического   анализа   доказывается,   что
производная  по  направлению,  определяемая   формулой   (2),   может   быть
представлена в виде

      .     (3)

Заметим,  что  частная  производная  по  x  тоже  является  производной   по
направлению. Это направление определяется равенствами:  cos( = 1;  sin( = 0.
Аналогично частная производная  по  y  —  это  производная  по  направлению,
которое можно задать условиями cos( = 0; sin( = 1.
      Прежде, чем анализировать формулу (3), приведем  некоторые  понятия  и
факты из курса векторной алгебры. Пусть в  плоскости  с  системой  координат
XOY задан направленный отрезок  или (что то же  самое)  вектор,  причем
точка M0(x0,y0) является  его  начальной  точкой,  а  M1(x1,y1)  -  конечной
точкой. Определим координату вектора по оси OX как число, равное x1 - x0,  а
координату  по  оси  ,  как  число,   равное   y1 - y0.   Если   задать
упорядоченную пару любых чисел a и b, то эти числа можно  рассматривать  как
координаты некоторого вектора  в  плоскости  XOY,  причем  длина  этого
вектора определена формулой

      ,

а тангенс угла наклона ( вектора к оси OX определяется из формулы  tg( = b/a
(отметим, что зная величину tg( , а также знак любого из чисел  a  и  b,  мы
можем определить угол (  с точностью до 2( ).
      Представление вектора в виде пары его  координат  будем  записывать  в
виде    или  .  Такое   представление   имеет   одну   характерную
особенность: оно не определяет  местоположение  вектора  на  плоскости  XOY.
Чтобы  его  определить,  нужно  наряду  с  координатами  вектора   задавать,
например, координаты его начальной точки или, как её  можно  назвать,  точки
приложения вектора.
      Если заданы два вектора:  и  ,  то  скалярным  произведением
 этих векторов называется число  ((- угол между векторами).
      В  любом  курсе  векторной   алгебры   доказывается,   что   скалярное
произведение векторов  и   равно  сумме  произведений  одноименных
координат этих векторов:

       = a1b1 + a2b2.   (4)

      Пусть в некоторой области G плоскости XOY задана  функция  z = f(x,y),
имеющая непрерывные частные производные по обоим аргументам. Градиентом  или
вектором-градиентом    функции  f(x,y)  в  точке  (x,y) ( G  называется
вектор, который задается формулой

      .

      Функция f определяет  для  каждой  точки  области  G  вектор-градиент,
исходящий из этой точки.
      Возвратимся  теперь  к  формуле  (3).  Ее  правую   часть   мы   можем
рассматривать, как скалярное произведение векторов. Первый из них -  вектор-
градиент функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0):
                                   .
      Второй – вектор . Это вектор, имеющий длину 1 и  угол  наклона  к
оси , равный (.
      Теперь можно сделать вывод,  что  производная  функции  z = f(x,y)  по
направлению, определяемому углом ( наклона  к  оси  OX,  в  точке  M0(x0,y0)
может быть вычислена по формуле

      .     (5)

Здесь  (   -  угол  между  вектором    и   вектором   ,   задающим
направление, по  которому  берется  производная.  Здесь  также  учтено,  что
.
      Из формулы (5) можно сделать очень важное заключение:  производная  по
направлению от функции z = f(x,y) в точке  M0(x0,y0)  достигает  наибольшего
значения, если это направление совпадает  с  направлением  вектора-градиента
функции в рассматриваемой точке, так как cos( ( 1, и  равенство  достигается
только если ( = 0 (очевидно, что другие решения уравнения  cos( = 1   нас  в
данном случае не  интересуют).  Иначе  можно  сказать,  что  вектор-градиент
функции в точке направлен в  сторону  наискорейшего  возрастания  функции  в
этой точке.

      Кроме того из формулы (5) следует, что наибольшее значение производной
по направлению в точке или наибольшее значение скорости возрастания  функции
в точке равно длине вектора-градиента функции в этой точке.

      Пример. Требуется найти  производную  функции    по  направлению,
составляющему угол в 60( с осью OX, в точке (1;3).

      Найдем частные производные функции:  Теперь можно определить
градиент функции в точке (1;3): . Принимая во внимание равенство
, воспользуемся формулой (4):

                                   .
1 2 3 4