Сборник Лекций 2 по Мат.Анализу .


                  §3. Дифференциал функции двух переменных

      Рассмотрим функцию  z = f(x,y),  имеющую  в  точке  Р0(х0,у0)  частные
производные  f(x(х0,у0)  и  f(у(х0,у0).  Перейдём  от  точки  Р0   к   точке
R0(x0+(x,y0+(у),  придавая  переменным  х  и  у  в  точке  Р0   произвольные
приращения (x и (у, соответственно. При этом  функция  в  точке  Р0  получит
приращение

      (f(х0,у0) = f(x0+(x,y0+(y) – f(x0,y0) = f(R0) – f(P0).

Если приращение функции f(x,y) можно представить в виде

       (f(х0,у0) = f(x(х0,у0)(x + f(у(х0,у0)(у + (((x;(у)   (x + (((x;(у)(у,
(1)

где , то функция называется дифференцируемой в точке  Р0(х0,у0).  Сумма
первых  двух   слагаемых   в   правой   части   равенства   (1)   называется
дифференциалом функции f(x,y) в точке Р0 и обозначается df(x0,y0):

      df(x0,y0) = f(x(х0,у0)(x + f(у(х0,у0)(у.     (2)


Если точка, в которой вычисляется дифференциал не существенна,  его  принято
обозначать просто df. Из определения следует, что дифференциал  представляет
собой главную часть приращения функции, линейную относительно приращений  её
аргументов.  Полагая  поочерёдно  f(x,y) = х  и  f(x,y) = у,  получим,   что
дифференциалы  dх  и  dy  независимых  аргументов  функции  х  и   у   равны
соответственно (x  и (у . Таким образом


      df = f(x dх + f(у dу.

      Раньше говорилось о том, что из существования  частных  производных  в
точке  не  следует  непрерывности  функции  в   этой   точке.   Однако,   из
справедливости равенства (1) следует

      ,


а  это  означает  непрерывность  функции  в  точке  (х0,у0).  Следовательно,
дифференцируемая в точке функция обязательно непрерывна в этой точке.

      Из сказанного следует, что  существование  обеих  частных  производных
функции в точке не означает, что функция дифференцируема  в  этой  точке.  В
курсе   математического   анализа   доказывается   теорема,   что    функция
дифференцируема  в  точке,  если  обе  частные  производные   этой   функции
непрерывны в этой точке.
      На рисунке 1 график функции z = f(x,y) представляет собой  поверхность
F. Длина отрезка Р0Р равна значению функции z в точке P0,


то есть (Р0Р( = f(x0,y0) (на рисунке для наглядности поверхность  F  выбрана
так, что все рассматриваемые  значения  функции  и  приращения  в  точке  P0
положительны,  но  это  не  ограничивает  справедливости  приведенных   выше
выводов и формул в общем случае). Координатами точек Q0, S0  и  R0  являются
пары чисел соответственно (x0,y0+(у);  (x0+(x,y0)  и  (x0+(x,y0+(у),  причём
(Q0Q( = f(Q0), (S0S( = f(S0) и (R0R( = f(R0).  Приращение  (f(х0,у0) функции
в точке Р0 равно (RR2(.
      Параллелограмм PQ1R1S1 лежит в плоскости, которая касается поверхности
F в точке Р. Прямоугольник PQ2R2S2 расположен  в  горизонтальной  плоскости.
Очевидно: (Q2Q1( = f(y(x0,y0)(y и (S2S1( = f(x(x0,y0)(x.
      Из легко доказываемого равенства

      (R2R1( = (S2S1( + (Q2Q1(


и формулы (2) следует, что дифференциал функции в точке Р0 равен (R2R1(.

      Так как  df(x0,y0) (  (f(x0,y0),  дифференциал  df  даёт  приближенное
значение приращения функции при малых значениях приращений аргументов.

1 2 3 4