Лекция по физике

Лекция 15

12. Тепловое излучение

12.1. Основные понятия. Закон Кирхгофа

До сих пор мы в основном занимались волнами как таковыми,
необязательно конкретизируя природу волны. Соответственно, в определенном
смысле, в разговорах часто присутствовало больше геометрии, чем физики.
Хотя, конечно, физика без геометрии - это не физика.
Но вот теперь на первый план выходят очень непростые существенно
физические проблемы и закономерности. И, в частности, разговор о тепловом
излучении требует введения некоторых специальных понятий.
Говоря о тепловом излучении, мы будем говорить о равновесном
состоянии, о равновесии между нагретыми телами - эти тела излучают тепловую
энергию и поглощают ее. Иначе говоря, имеет место равновесие между телами и
электромагнитным полем, в которые эти тела оказываются “погруженными”.
Для описания этих процессов нам понадобятся некоторые новые понятия.
Прежде всего это энергетическая светимость R. В соответствии с
определением, с элементарной поверхности (s за время (t излучается энергия
(W = R((s((t. Эта энергия относится ко всему частотному диапазону и
излучается в пределах телесного угла ((.
Следующее понятие - испускательная способность . Она входит в
выражение и определяет энергетическую светимость в диапазоне d(.
Однако, испускательная способность зависит также и от температуры. Поэтому
обычно пишут . Тогда энергетическая светимость при некоторой
температуре

Испускательную способность иногда удобно относить не к некоторому значению
частоты, а к значению длины волны (. Тогда пишут . Поскольку

и по смыслу , мы имеем:

;

Последнее выражение связывает величины r( и r(, и мы при необходимости
можем переходить от одной к другой.
При падении лучистой энергии на поверхность часть ее, вообще говоря,
поглощается. Поглощательная способность зависит от частоты и от
температуры. Поэтому выражение для нее записывается в виде:

В знаменателе стоит поток падающей лучистой (электромагнитной) энергии,
относящейся к интервалу d(, в числителе - поглощенная часть потока. Если
при любых частотах , тело называется абсолютно черным. При частичном
поглощении падающего потока энергии говорят о сером теле. При этом
подразумевается, что поглощательная способность не зависит от частоты:
. Естественно, поглощательная способность не может быть больше
единицы.
Таковы основные понятия, необходимые нам для разговора о тепловом
излучении.

Мы уже говорили, что речь идет о тепловом равновесии между телом (его
излучением) и окружающем его пространстве, заполненном лучистой энергии.
Что будет, если имеется несколько тел с разными свойствами поверхностей?
Оказывается, что отношение испускательных и поглощательных способностей
обязаны быть равны:

Действительно, в противном случае у них были бы различные температуры и мы
с легкостью получили бы вечный двигатель.
Это отношение представляет собой некоторую функцию частоты и
температуры (или же длины волны и температуры):

Это соотношение между функциями следует из таких соображений. Для
абсолютно черного тела и, стало быть,

Абсолютно черное тело является некоторой идеализацией - таких тел в
природе просто не существует. Но к свойствам абсолютно черного тела могут
быть сколь угодно близки свойства некоторого специального устройства. Оно
представляет собой некую полость с, вообще говоря, зачерненной шероховатой
внутренней поверхностью и небольшим отверстием. Проникшая через отверстие,
электромагнитная волна любой частоты будет рассеиваться на внутренней
поверхности полости, частично поглощаться и может выйти из нее только после
многочисленных отражений. Доля вышедшей после многочисленных частичных
поглощений при “соприкосновении” с внутренней поверхностью полости явно
весьма незначительна.
Хотя поглощательная способность внутренней поверхности полости и не
равна единице, при каждом отражении происходит поглощение части энергии,
при многочисленных отражениях будет поглощена практически вся энергия.

Таким образом, входное отверстие такой полости, даже не являясь
поверхностью какого-нибудь тела, обладает свойствами поверхности абсолютно
черного тела. И для нас, конечно, важно не столько то, что (почти) вся
падающая на эту “поверхность” энергия будет поглощена, сколько то, что ее
излучение будет практически совпадать с излучением абсолютно черного тела.
В соответствии с законом Кирхгофа.

12.2. Плотность лучистой энергии

( d(

R (R
Рассмотрим детальнее равновесие элемента поверхности абсолютно черного
тела и лучистой энергии, в которую оно “погружено”. Выделим элемент
поверхности (s и некоторый элементарный объем (V в окружающем его
пространстве.
Введя плотность энергии , мы можем записать выражение для части
заключенной в выделенном объеме энергии, которая протечет через выделенную
площадку:
.

Это выражение написано из таких соображений. Запасенная в выделенном объеме
энергия будет распространяться в пределах телесного угла 4(. Значит, через
выделенную площадку пройдет часть этой энергии, равная отношению телесного
угла , под которым из выделенного объема видна площадка, к полному
телесному углу.

( d(

R (R
Далее, в силу симметрии, элементарный объем можно выбрать в виде
“бублика”, объем которого

Таким образом, чтобы подсчитать энергию, которая пройдет через выделенную
площадку за время , нам надо взять интеграл по d( :

В условиях равновесия за то же время площадкой (s будет испущена такая
же по величине энергия. Поэтому,

;

Мы нашли связь между испускательной способностью абсолютно черного тела и
плотностью электромагнитной энергии в условиях равновесия.

12.3. Лучистая энергия

Мы нашли связь между функциями испускательной способности и плотности
электромагнитной энергии. Но представляется совершенно неясным, каким
способом можно было бы найти вид этих функций. Здесь нужны какие-то
дополнительные гипотезы о способе существования, что ли, лучистой, волновой
энергии. Ясно, что такое описание распределения энергии по частотам (это
функции частоты!) при определенной температуре должно быть вероятностным,
но в основе должно предположить существование какой-то функции
распределения, подобно тому, как мы в свое время нашли вид функции
распределения Максвелла для молекул (атомов).
;
Z

d
b
0 a X
Такой гипотезой явилось предположение, что лучистая энергия могла бы
существовать в виде стоячих волн. Стоячими волнами мы ранее немного
занимались, но теперь нам надо исследовать этот вопрос детальнее.
Пусть у нас имеется полость в виде прямоугольного параллелепипеда со
сторонами a,b,c. Условием существования стоячей волны вида

является выполнение условий
.
Речь, разумеется, идет о плоской волне, и только при выполнении этих
условий любой луч волны окажется замкнутым. Причем в любую “стартовую”
точку волна будет возвращаться с неизменной фазой.
Теперь можно говорить о некотором распределении стоячих волн по оси
частот - они могут принимать лишь некоторые дискретные значения.
Перейдем в декартово пространство, в котором по осям отложены значения
составляющих векторов . Концы векторов, удовлетворяющих условию
стоячей волны, будут иметь координаты . Это позволяет нам говорить о
плотности таких точек в k - пространстве: поскольку , элементарный
объем на одну точку (конец вектора ) . Равная обратной величине
элементарного объема, плотность точек Nk в k - пространстве оказывается
величиной постоянной: .
Собственно, нас интересуют количества векторов в модулем от k до k+(k.
Чтобы подсчитать это количество, выберем элементарный объем в k -
пространстве в виде тонкого шарового слоя радиуса k и толщиной (k и умножим
его на плотность точек:

Теперь нам надо проделать еще такие операции. Во-первых, перейдем от
волновых векторов k к частотам (: . Затем нам надо умножить полученное
число на 2, поскольку имеется два взаимно перпендикулярных направления
колебаний - это будут разные стоячие волны. Тогда на единицу объема мы
получаем такое количество волн с частотой (:
.

kX<0 kX>0
kY>0
X
kY<0
Теперь попробуем понять, что мы, собственно, получили. Это выражение
дает нам число волн с частотой ( в единице объема. Но это еще не количество
стоячих волн. При каждом отражении волна изменяет направление
распространения, но это остается та же волна с частотой (. При нашем же
подсчете они считались различными волнами - с определенным модулем
волнового числа k и независимо от направления вектора . Поэтому
полученное количество волн нам надо разделить на 8 и вот почему.
При каждом отражении изменяется знак одной из проекций вектора .
Как видно из рисунка, изменение знаков проекций kX и kY дает четыре
возможные направления вектора . Но остается еще возможность изменения
знака kZ - итого получается 8 возможных направлений распространения (одной
и той же) волны с частотой (. Таким образом, переходя к дифференциалам, мы
получаем нужное выражение:
.

Эти стоячие волны заманчиво трактовать как колебательные степени
свободы для лучистой энергии. Тогда на каждую стоячую волну пришлась бы
порция энергии kT. Но здесь нас ждет большая неприятность: количество
стоячих волн (вплоть до ((() неограничено, плотность энергии оказывается
бесконечной, что, конечно, никак не может отвечать реальности.
Тем не менее не стоит приходить в отчаяние. Нам еще придется сделать
некоторые уточнения, связанные с более глубоким пониманием физики. Тогда мы
и получим разумный результат.

12.4. Формула Планка

Изучение теплового равновесного излучения как и других явлений привело
физиков к идее квантования. Каждой колебательной степени свободы пришлось
приписать энергию в несколько энергетических квантов - порций энергии
величиной ((.
Количество стоячих волн с энергией определяется распределением
Больцмана:

С увеличением частоты количество волн с большой энергией уменьшается и тем
самым снимается проблема бесконечной плотности энергии.
Подсчитаем среднюю энергию стоячей волны с частотой (:

Мы ввели обозначение .
Выражение под знаком логарифма представляет собой сумму членов
бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем . Поэтому
средняя энергия стоячей волны

Умножив это значение на количество волн в интервале d(, получим энергию в
этом интервале:
,

мы получим для плотности лучистой энергии выражение

которое носит название формулы Планка.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13