Физика

Лекция 17

13.2. Теплоемкость кристаллической решетки.
Продолжение

Здесь мы проведем некоторые подсчеты, повторяющие проведенные при
выводе формулы Планка. Прежде всего запишем выражения для количества
стоячих волн с энергией и для их энергий:

; .

Средняя энергия

Введя переменную , перепишем это выражение в виде

При преобразованиях мы воспользовались выражением для суммы членов
бесконечной геометрической прогрессии. Наконец, выполнив дифференцирование,
получаем нужное выражение:

Подсчитаем теперь тепловую энергию моля кристаллического вещества. При
выводе формулы Планка не существует ограничения на максимальную частоту (.
В случае же кристалла не имеет смысла говорить о волне, длина которой
меньше расстояния между атомами. А говоря иначе, количество стоячих волн
должно равняться числу степеней свободы 3NA. Это позволяет определить
максимальное значение частоты (Vмоль-объем моля вещества):

;

Для подсчета тепловой энергии, запасенной молем вещества, нам надо
взять интеграл:

При высокой температуре и экспоненту в знаменателе
подынтегрального выражения можно разложить в ряд, ограничившись первым
членом разложения: . Кроме того, куб скорости в знаменателе можно
представить в виде:

.
Тогда для ET мы получим:

Таким образом, при высокой температуре молярная теплоемкость кристалла
,

и мы получаем закон Дюлонга и Пти. Как должно быть ясно из сказанного, это
выражение справедливо лишь при достаточно высокой температуре, когда
возможно разложение экспоненты в ряд с ограниченным количеством членов
разложения.
Анализировать поведение теплоемкости при низких температурах мы не
будем. Отметим только, что в качестве “граничной” температуры вводится так
называемая температура Дебая (, которая определяется условием: . При
температурах необходимо учитывать эффекты квантования энергии.

14.1. Преобразования Лоренца

Y Y’

K K’

O O’ X,X’
До сих пор у нас не возникало необходимости переходить из одной
системы отсчета в другую при больших скоростях относительного движения этих
систем. Потому мы пользовались преобразования Галилея, не учитывающими
релятивистские эффекты. Но теперь нам понадобятся преобразования Лоренца.
При движении со скоростью v некоторой системы K’ вдоль оси OX “неподвижной”
системы K они имеют вид:

; ;
; .

Мы выписали прямые и обратные преобразования. Отмеченные штрихами величины
относятся к движущейся системе отсчета.

Чтобы немного привыкнуть к этим преобразованиям, решим две частные
задачи, не имеющие прямого отношения к волнам.
Рассмотрим движение некоторого стержня вдоль оси OX. Свяжем с ним
движущуюся систему отсчета K’. Его длина в этой системе отсчета .
Заметим, что, поскольку стержень в этой системе неподвижен, координаты его
концов могут быть определены в произвольные моменты времени - координаты не
изменяются во времени. Обратите внимание на это существенное
обстоятельство.
Получим теперь выражение для длины стержня в неподвижной системе
отсчета. Запишем такое выражение:

Чтобы определить длину движущегося стержня в неподвижной системе отсчета,
нам следует определить координаты его концов в один и тот же момент
времени, т.е. положить . При этом условии - длина стержня в
неподвижной системе отсчета. Таким образом, длина движущегося стержня
оказывается меньше его “собственной” длины:

В таком случае говорят о лоренцовом сокращении длины движущегося стержня.
Предположим теперь, что в неподвижной системе отсчета произошли два
события, разделенные промежутком времени . Например, это может быть
промежуток времени между рождением и распадом некоторой нестабильной
частицы. Считая, что частица движется со скоростью v, свяжем с ней систему
отсчета. В этой системе промежуток времени между событиями, которые,
заметим, в ней произошли в одной и той же точке с координатой x’, будет:

;

В таком случае говорят о замедлении хода часов в движущейся системе
отсчета.
Это замедление хода часов (или хода времени) приводит к любопытному
эффекту. Исследуя некоторую нестабильную частицу, мы можем измерить ее
“время жизни” (( которое является характеристикой частицы, а не системы
отсчета. Если такая частица после рождения движется со скоростью v, мы
можем подумать, что до момента распада она пройдет путь v(( - от рождения и
до распада в связанной с частицей системе отсчета пройдет время ((. Между
тем пройденный за это время путь мы, естественно, измеряем в неподвижной
системе отсчета. И тогда этот путь окажется намного больше, если скорость
частицы близка к скорости света:

Так что, измеряя пройденное от момента рождения частицы до ее распада
расстояние, можно непосредственно проверить вывод о замедлении хода времени
в движущейся системе отсчета.

14.2. Эффект Допплера

v
з

При излучении волны движущимся источником частота излученной волны не
совпадает с частотой колебаний источника. Соответственно, воспринимаемая
движущимся приемником частота колебаний не совпадает с частотой колебаний,
распространяющихся с волной. Связанные с переходом из одной системы в
другую изменения частоты и волнового вектора носят название эффекта
Допплера.
Рассмотрим процесс отражения электромагнитной волны от движущегося
навстречу ей зеркала.
На рисунке представлены электромагнитные волны до и после отражения.
Перейдем в систему отсчета, связанной с движущимся зеркалом.
Подставим в выражение для падающей на зеркало волны значения t и x и
проведем перегруппировку сомножителей:

В аргументе падающей на зеркало волны в движущейся K’ системе

;

Такой представляется волна наблюдателю, движущемуся вместе с зеркалом.
Проделаем те же операции с аргументом отраженной волны,
распространяющейся направо:

Естественно, в этих выражениях (( и k( одни и те же: в связанной с
зеркалом K’ системе волна отражается без изменения частоты и волнового
числа. Поэтому

; .

С помощью этих равенств мы можем выразить значения (2 и k2 через частоту и
волновое число падающей волны (1 и k1:

;

При преобразованиях мы воспользовались выражением .
Таким образом, при отражении волны от движущегося навстречу ей зеркала
происходит увеличение частоты и, соответственно волнового числа. Если волна
имела квант энергии ((1, после отражения эта энергия возрастет - за счет
работы против сил давления на зеркало в процессе отражения. Это означает,
что такой квант энергии обладает импульсом.
Получим выражение для импульса из самых элементарных соображений.
Введя среднюю силу взаимодействия кванта F, запишем для изменения импульса
выражение:

и, поскольку взаимодействие происходит на скорости света c, изменение
энергии
.

Поэтому
; .

Таким вот образом постепенно появляется представление о некоторой частице -
фотоне. Ее энергия и импульс связываются с частотой ( и
волновым числом k.

14.3. Поперечный эффект Допплера. Аберрация

Преобразования Лоренца мы выписали для случая движения системы отсчета
K’ вдоль оси OX. Их надо еще дополнить выражениями для преобразований y- и
z-координат. Они имеют вид

Вообще говоря, это приводит к выражениям и . Поэтому может
создаться впечатление, что при движении электромагнитной волны в
перпендикулярном к оси OX направлении релятивистские эффекты несущественны.
Однако это не так.
Предположим, что волна в неподвижной системе отсчета распространяется
вдоль оси OY (). Перейдем, как мы делали это раньше, в движущуюся
систему отсчета:

;
.

Изменение частоты при поперечном эффекте Допплера связано с
замедлением хода времени в движущейся системе отсчета. При этом еще
изменяется и направление распространение волны - ее угол с осью OY
определяется выражениями

v
Связанное с этим смещение видимого положения звезды на угол ( по
отношению к ее истинному положению называют аберрацией. В течение года
направление движения Земли при ее обращении вокруг Солнца изменяется,
изменяется и положение наблюдаемой звезды на небосводе.
Сама по себе аберрация не является следствием теории относительности.
Забыв о последней, мы могли бы провести такие рассуждения.
Если телескоп движется перпендикулярно к направлению на звезду,
необходимо наклонить его так, чтобы свет распространялся вдоль оси
телескопа. Угол наклона при этом должен быть таким, чтобы . Как
видите, результат при этом получается другой. Точное измерение необходимого
угла наклона позволяет еще раз проверить справедливость теории
относительности.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13