Применение экономико-математических методов при решении конкретных аналитических задач .




                ПРИМЕНЕНИЕ  ЭКОНОМИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИХ  МЕТОДОВ
                     ПРИ РЕШЕНИИ КОНКРЕТНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ







                         7.1.   ГРАФИЧЕСКИЕ  МЕТОДЫ



     Графические   методы   связаны    прежде    всего    с   геометрическим
изображением   функциональной    зависимости    при    помощи    линий    на
плоскости.   Графики   используются   для   быстрого   нахождения   значения
функций  по соответствующему  значению  аргумента,  для  наг-
лядного  изображения  функциональных  зависимостей.
             В  экономическом  анализе  применяются  почти  все  виды
графиков:  диаграммы  сравне-
ния,  диаграммы  временных  рядов,  кривые  распределения,  графики
корреляционного  поля,
статистические  картограммы. Особенно  широко  распространены  в  анализе
диаграммы  срав-
нения - для  сравнения  отчетных  показателей  с  плановыми,
предшествующих  периодов  и  пе-
редовых  предприятий.  Для  наглядного  изображения  динамики
экономических  явлений  ( а  в
анализе  с  динамическими  рядами  приходится иметь  дело  очень  часто  )
используются  диагра-
мы  средних  рядов.
               С помощью  координатной  сетки  строятся  графики
зависимости,  например,  уровня  из-
держек  от  объема  произведенной  и  реализованной  продукции,  а  также
графики,  на  кото-
рых  можно  изображать  и  корреляционные  связи  между  показателями.  В
системе  осей  коор-
динат  изображение  показывает  влияние  различных  факторов  на  тот  или
иной  показатель.
                Широко применяется  графический  метод  для  исследования
производственных  процессов,  организационных  структур,  процессов
программирования  и  т. д.  Например,  для
анализа  эффективности  использования  производственного  оборудования
строятся  расчетные
графики,  в  том  числе  графики множественных  факторов.
                 В  математически  формализованной  системе  анализа,
планирования  и  управления
особое  место  занимают  сетевые  графики.  Они  дают  большой
экономический  эффект  при  строительстве  и  монтаже  промышленных  и
других  предприятий.
                 Сетевой  график ( рис. 7.1 )  позволяет  выделить  из
всего  комплекса  работ  наиболее  важные,  лежащие  на  критическом  пути,
 и  сосредоточить  на  них  основные  ресурсы  строи-
тельно-монтажных  организаций, устанавливать  взаимосвязь  между
различными  специализированными  организациями  и  координировать  их
работу.  Работы,  лежащие  на  крити-
ческом  пути,  требуют  наиболее  продолжительного  ожидания  поступления
очередного  события.  На  стадии  оперативного  анализа  и  управления
сетевой  график  дает  возможность  осуществлять
действенный  контроль  за  ходом  строительства,  своевременно  принимать
меры  по  устранению  воз-
можных  задержек  в  работе.
                  Применение  сетевых  графиков  анализа,  планирования  и
управления  обеспечивает,  как  показывают  многие  параметры,  сокращение
сроков  строительства  на  20-30% ,  повышение  произ-
водительности  труда   на 15-20%.
                   При  анализе,  осуществляемом  непосредственно  на
стройках,  использование  материалов
сетевого  планирования  и  управления  способствует  правильному
определению  причин,  влияющих  на  ход  строительства,  и  выявлению
предприятий,  не  обеспечивающих  выполнение  порученных  им  работ  или
поставку  оборудования  в  сроки,  установленные  графиком.
              Разработка  сетевого  графика  в  строительстве
осуществляется  при  наличии:  норм  продол-
жительности  строительства  и  срока  ввода  в  действие  объекта  или
комплексов  объектов,  проек-
тно-сметной  документации,  проекта  организации  строительства  и
производства  работ,  типовых  тех
нологических  карт,  действующих  норм  затрат  труда,  материалов  и
работы  машин.  Кроме  того,
при  составлении  графика  используются  опыт  выполнения  отдельных
работ,  а  также  данные  о
производственной  базе  строительных  и монтажных  организаций.
               На основе  всех  этих  данных  составляется  таблица  работ
и  ресурсов,  где  в  технологичес-
кой  последовательности  производства  работ  указываются  их
характеристика,  объем,  трудоем-
кость  в  человеко-днях,  исполнитель ( организация  и  бригада ),
численность  рабочих,  сменность,
потребность  в  механизмах  и  материалах,  источники  их  поступления,
общая  продолжительность  выполнения  работы  в  днях,  а  также
предшествующее  задание,  после  окончания  которого  можно
начинать  данную  работу.  Исходя  из  показателей  такой  таблицы,
подготавливают  сетевой  график
который  может  иметь  различную  степень  детализации  в  зависимости  от
принятой  схемы  производ
ства  работ  и  уровня  руководства;  кроме  общего  графика  выполняемых
ими  работ.
                 Основные  элементы  сетевого  графика:  событие,  работа,
ожидание,  зависимость.
                 При  анализе  хода  строительства  объекта  следует
устанавливать,  правильно  ли  состав-
лен  сетевой  график,  не  допущено  ли  при  этом  завышение  критического
 пути,  учтены  ли  при  оп-
тимизации  графика  все  возможности  его  сокращения,  нельзя  ли  какие-
либо  работы  выполнять  параллельно  или  сократить  время,  затрачиваемое
 на  них,  путем  увеличения  средств  механизации и  др.  Это  особенно
важно  в  тех  случаях,  когда  продолжительность  работ  по  графику  не
обеспе-
чивает  окончание  строительства  и  срок.
                 Основным  материалом  сетевого  планирования,
используемого  при  анализе,  является  ин-
формация  о  ходе  работ  по  графику, который  обычно  составляется  не
реже  одного  раза  в  декаду.
В  качестве  примера  приводится  карта  задания  и  информации  о  ходе
работы  по  объекту  строи-
тельства,осуществляемому  по  сетевому  графику  ( табл.7.1).  По  данным
карты,  критические  рабо-
ты  выполнялись  в  начале  месяца  с  опережением  графика,  однако  затем
 было  допущено  отстава-
ние  монтажа  подкрановых  балок  по  ряду  Б— ,  а  последующая  работа —
монтаж  подкрановых
балок  по  ряду  А —   закончена  с  отставанием  на  один  день.
                  Оптимизация  сетевых  графиков  осуществляется  на
стадии  планирования  посредством
сокращения  критического  пути,  т.е.  минимизация  сроков  выполнения
строительных  работ  при  за-
данных  уровнях  ресурсов,  минимизация  уровня  потребления  материальных,
 трудовых  и  финансо-
вых  ресурсов  при  фиксированных  сроках  выполнения  строительных  работ.
 Возможен  и  смешан-
ный  подход:  для  одной  части  работ ( более  дорогостоящих ) —
минимизировать  сроки  при  фикси-
рованном  уровне  ресурсов.
                    Решение  оптимизационных  задач  существенно
облегчается  наличием  пакетов  приклад-
ных  программ  (ППП),  приспособленных  к  составлению  оптимальных
сетевых  графиков  на  ЭВМ.
                    В  зарубежной  практике  системного  анализа
распространен  графо-математический  метод,  получивший  название  “
дерево  решений  “.  Суть  этого  метода  заключается  в  следующем.
                     Путем  предварительной  оценки  потребностей,
предварительного  анализа  возможных  организационных,  технических  или
технологических  условий  намечаются  все  предполагаемые
варианты  решения  данной  задачи.  Вначале  разрабатываются  укрупненные
варианты.  Затем  по
мере  введения  дополнительных  условий  каждый  из  них  расчленяется  на
ряд  вариантов.  Графическое  изображение  этих  вариантов  позволяет
исключить  менее  выгодные  из  них  и  избрать
наиболее приемлемый.
                      Этот  метод  может  найти  у  нас  применение  при
определении  порядка  обработки  тех  или  иных  деталей  на  нескольких
станках  в  целях  минимизации  общего  времени  обработки;  при
установлении  размеров  ресурсов  для  минимизации  общих  производственных
 издержек;  при  распределении  капиталовложений  и  других  ресурсов  по
промышленным  объектам;  при  решении
транспортных  и  других  задач.



  МЕТОД  КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННОГО  АНАЛИЗА


           Метод  корреляционного  и  регрессинного  анализа  широко
используется
для  определения  тесноты  связи  между  показателями,  не  находящимися  в
фун-
кциональной  зависимости.  Теснота  связи  между  изучаемыми  явлениями
измеряется  корреляционным  отношением  ( для  криволинейной  зависимости
).
Для  прямолинейной  зависимости  исчисляется  коэффициент  корреляции.
            Одной  из  распространенных  аналитических  задач,  решаемых  с
 приме-
нением  корреляционно-регрессионного  метода,  является  задача  на  запуск
— выпуск.  Допустим,  что  имеются  фактические  данные  о  запуске  и
выпуске  промышленных  изделий  (  таблю  7.2 ).



               Таблица  7.2.  Фактические  данные  о  запуске —  выпуске
                                                                промышленных
 изделий,  тыс.  шт.


|               |      |      |      |      |        |             |
|Запуск     xi  |22    |13    |20    |15    |14      |xi=102       |
|18             |      |      |      |      |        |i            |
|         |     |      |      |      |      |        |             |
|Выпуск   |17,9 |20,9  |11,6  |18,7  |14,1  |12,9    |yi=95,4      |
|yi       |     |      |      |      |      |        |i            |

        Требуется  определить  зависимость  выпуска  изделий  в  среднем
от  их  запуска,  составив  соответствующее  уравнение  регрессии.
         Значения  x  и  y  определяются  по  формулам:

                            x=                                   ;   y=
                                 ;   n=6,  i=1,  .....  , 6;
                                 102
       95,4
                                           x=      6      =   17  ;      y
=      6     =  15,9.


             Дальнейшим  вычислениям  придается  табличная  форма,  что
повышает
их  наглядность.
|             |             |             |             |             |
|( x i - x  ) |2            |( yi -  y )  |2            |(xi - xi )  (|
|             |( xi yi  -   |             |(  yi  -  y )|yi - y )     |
|             |xi yi  )     |             |             |             |

          1                               1                             1,3
                        1,69                        1,3
          5                              25                              5
                          25                         25
     — 4                              16                       — 4,3
               18,49                      17,2
          3                                9                            2,8
                       7,84                        8,4



     — 2                                4                        — 1,8
                  3,24                        3,6
     — 3                                9                          — 3
                       9                           9

           ( xi -  x )   = 64                                   ( yi - y )
= 65,26                   (  xi - x )  ( yi - y )=64 , 5
         i
      i                                                          i


         Теснота  связи  между  показателями  запуска  и  выпуска
измеряется  коэффи-
циентом  корреляции,  который  исчисляется  по  формуле

       
                                                  V=

       Подставляя  соответствующие  значения,  получим:



.


.

                10,75                10,75
     V=  3,27 * 3,30  =     10,79  = 0,996.

             Считая  формулу  связи  линейной  ( y=a0 + a1 x ),  определим
зависимость
выпуска  промышленных  изделий  от  их  запуска.  Дя  этого  решается
система
нормальных  уравнений:

                        na + a1        xi =      yi
                                           i          i
                   a0      xi + a1      xi  =      xi yi

                Величины         x2   и        xi yi  предсавлены  в
следующей  таблице


|      |      |      |      |      |      |      |                 |
|2     |324   |484   |169   |400   |225   |196   |xi=1798          |
|xi    |      |      |      |      |      |      |                 |
|      |      |      |      |      |      |      |                 |
|xi yi |309,6 |459,8 |150,8 |374,0 |211,5 |180,6 |xi yi =1686,3    |

                 Значение  a0  определяем  из  первого  уровнения:
                              6a0+ 102a1 =95,4;
                           102a0+1798a1 =1686,3;
                               95,4 — 102a1
                  a0 =                6               ,    или  a0 = 15,9 —
17a1.

                 Подставляя  найденное  выражение  а0  во  второе
уравнение,  находим
значение  а1:
                              102 (15,9 —  17a1)+1798a1 = 1683,3;
                           1621,8 —  1734a1 + 1798a1 =1686,3;

                    95,4 — 102a1
            a0=           6                ,  или  a0=15,9 — 17a1.

                 Подставляя  найденное  выражение  а0  во  второе
уравнение,   находим  значение  а1:
                             102 ( 15,9 — 17а1)+1798а1=1686,3;
                      1621,8 — 1734а1+1798а1=1686,3;
                     64a1=1686,3 — 1621,8;
                                             64a1=64,5;  a1=1,01;
                          a0=15,9 — 17 * 1,01;  a0=15,9 — 17,17;
                                      a0= — 1;
                 Итак,  уравнение  регрессии  в  окончательном  виде
получило  следу-
ющий  вид:
                 y= — 1,27+1,01x
                      Проверка:
                y= — 1,27+1,01 * 17= — 1,27+17,17;
                                    y=15,9.



                     МЕТОДЫ  ЛИНЕЙНОГО  ПРОГРАММИРОВАНИЯ

                 Методы  линейного  программирования  прпименяются  для
решения
многих  экстремальных  задач,  с  которыми  довольно  часто  приходится
иметь
дело  в  экономике.  Решение  таких  задач  сводится  к  нахождению
крайних  значении ( максимума  или  минимума ) некоторых  функций
переменных  величин.
                 Линейное  программирование  основано  на  решении  системы
 линей-
ных  урвнений ( с  преобразованием  в  уравнения  неравенства ),  когда
зависимость  между  изучаемыми  явлениями  строго  функциональна.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10