Элементарные доказательства теорем Перрона и Маркова для 2x2 матриц .

Відомо [[1]-[10]], яку важливу роль відіграють невід’ємні матриці в
математичних моделях економіки, біології, теорії ймовірностей тощо.
Одними з основоположних фактів теорії цих матриць є теореми Перрона.
Перрона-Фробеніуса та Маркова. Доведення цих теорем в загальному випадку
потребує застосування теорем з таких неелментарних розділів математики, як
теорія екстремумів функції багатьох змінних, жорданова нормальна форма
тощо.
Мета роботи дати елементарне доведення вищезгаданих теорем Перрона,
Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого проядку, яке цілком
доступне і для школярів 9-го класу. Це дозволить, наприклад, на заняттях
шкільних математичних гуртків чи факультативів розглянути та проаналізувати
змістовні математично-економічні та теоретико-ймовірносні моделі
(наприклад, модель Леонтьєва, випадкове блукання на відрізку) з повним
доведенням всіх тверджень.
1. Необхідні відомості з теорії матриць.
Матриця розмірів m x n – це прямокутна таблиця чисел з m рядків та n
стовпців. Позначається матриця так:

Квадратною матрицею n-го порядку зветься матриця розміром n x n.
Важливою числовою характеристикою матриці є її визначник, який позначається
detA. Для 2x2 матриці . Матриці А та В однакових розмірів
називаються рівними, якщо іх відповідні елементи однакові, що записують
так: А=В.

З матрицями можна здійснювати такі операції:
1. Множити на число
Приклад:
2. Додавати матриці однакових розмірів:
Приклад:

3. Множити матриці:
Приклад:
Взагалі, добутком матриці А розмірів m x r та матриці В розмірів r x
n називається матриця С розмірів m x n, яка позначається АВ. Елемент cij
цієї матриці – це сума попарних добутків елементів i-го рядка матриці А та
елементів j-го рядка матриці В, а саме:
Якщо А та В квадратні матриці однакового порядку, то їх завжди можна
перемножити.
Квадратна матриця порядку n, у якої єлементи , а інші елементи є
нулями, називається одиничною матрицією порядку n. Однична матриця має таку
властивість: АЕ=ЕА=А, де А – квадратна матриця порядку n, Е – одинична
матриця такого ж порядку.
Нехай А – квадратна матриця, тоді матриця А-1 зветься оберненою до
матриці А, якщо
Не в кожної матриці є обернена до неї, а саме А-1 існує тоді і тільки
тоді, коли .
Беспосередньо можна первірити, що для

Визначення: Число ( називається власним значенням n x n матриці А, якщо
знайдется стовпчик такий, що АХ=(Х. При цьому Х називається власним
вектором матриці А, що відповідає власному значенню (.
Якщо власний вектор Х відповідає власному значенню (, то сХ, де с -
const, також власний вектор, що відповідає (. Власне значення є коренем
характеристичного рівняння . Звідки видно, що не у кожної матриці є
власні значення.

Визначення: Матриця А зветься додатною, якщо всі її елементи додатні, це
позначається А>0.

Теорема Перрона: Нехай А - додатна матриця, тоді А має додатне власне
значення r>0 таке, що:
1. r- відповідає єдиний (з точністю до множення на число) власний
вектор.
2. інші власні значення по модулю < r.
3. власний вектор, що відповідає r, можна вибрати додатним (тобто з
додатними елементами).
Доведення теореми для 2х2 матриць.
Нехай .
Тоді .
Напишемо характеристичне рівняння для матриці А:
.
Це квадратне рівніння з дискримінантом:

І тому

Тобто твердження теореми 1 і 2 доведені, якщо r=(1.
Знайдемо власний вектор , що відповідає власному значенню (1 з
рівності

Тоді
, або
Враховуючи, що

перепишемо систему у вигляді:

Але і тому рівняння системи пропорціональні, а це означає, що одне з
них можна відкинути.
Знайдемо x1 з першого рівняння системи
Щоб довести, що власний вектор можна вибрати додатним, достатньо
перевірити, що ,тому що поклавши отримаємо x1>0.

Враховуючи, що b>0 треба довести, що ,

але це випливає з того, що , бо cb>0.
Таким чином третє твердження доведено, а з ним доведена теорема.
Визначення: Матриця А n-го порядку зветься нерозкладною, якщо однаковим
переставленням рядків та стовпців її не можна привести до виду , де
А1, А2 - квадратні матриці розмірів k x k та (n-k) x (n-k) відповідно. Для
2х2 матриць це означає, що та
Визначення: Матриця А зветься невід’ємною, якщо всі її елементи невід’ємні.

Зауваження: Фробеніус довів, що твердження теореми Перрона залишаються в
силі для нерозкладних невід’ємних матриць. Це можна довести, просто
повторивши наше доведення теореми Перрона для 2х2 матриць у випадку, коли
один або обидва діагональних елемента дорівнюють нулю.

Визначення: Квадратна матриця називається стохастичною, якщо
1)
2)

Теорема Маркова: Нехай для стохастичної матриці P існує натуральне число k0
таке, що (тобто всі елементи додатні). Тоді
1. (існування границі матриці означає, що існує границя кожного
її елементу)
2. Матриця - має однакові рядки.
3. Всі елементи цих рядків додатні.
Доведення теореми для 2х2 матриць.
Запишемо стохастичну матрицю у вигляді , де
Запишемо її характеристичне рівняння: ,

Це квадратне рівняння з дискрімінантом:

І тому

З урахуванням маємо , але якщо , то це значить, що p=q=1
або p=q=0, відкіля матриця P буде мати вигляд , або і тоді Pn
містить нулі , що суперечить умові. Таким чином .
Беспосередньою перевіркою з урахуванням стохастичності встановлюємо, що
власному значенню відповідає власний вектор , де x1=x2, тобто,
наприклад власний вектор. Знайдемо власний вектор , що
відповідає власному значенню .
За визначенням

Звідки

Згадуючи, що отримуємо

Очевидно, що рівняння системи пропорційні, тому одне з них можна
відкинути. Знайдемо y1 з першого рівняння: або звідки ,
але , бо в протилежному випадку дана матриця мала б вигяд: , а
тоді матриця мала б нульовий елемент , що суперечить умові. Тому
можна записати, що
Доведемо тепер твердження 1 теореми.
Розглянемо матрицю S, стовпцями якої є власні вектори матриці P. Нам
необхідно отримати зручну формулу для Pn.
Позначимо .
Оскілки , то існує S-1. Перепишемо рівняння та у матричній
формі
або .
Відкіля і взагалі
Знайдемо границю Pn:

Твердження 1 теореми доведено.

Доведемо тепер, що рядки матриці однакові. Для цього обчиcлимо
.
Оскільки , то Ми бачимо, що рядки матриці - однакові.
Доведемо тепер, що їх елементи додатні. Для цього врахуємо отриману раніше
залежність
Для того, щоб довести треба довести, що , треба довести, що та
.

Маємо
,
, тому що p>0 і q >0
Теорема доказана.

Зауваження1 В процесі доведення ми вивели, що для 2х2 матриць

Зауваження2 Позначимо рядки граничної матриці . Тоді можна
знайти з умови:

Доведення.
Оскільки
Зівдки
Або

Звідки
Зокрема, для 2х2 матриці
Умовою рядок визначається однозначно, що для 2х2 матриці можна
перевірити.
В роботі дані для матриць другого порядку елементарні доведення
таких фундаментальних теорем теорії невід’ємних матриць. як теореми
Перрона, Перрона-Фробеніуса, Маркова.
У відомій нам літературі повне доведення цих теорем дається для
загального випадку матриць n-го порядку з використанням неелемнтарних
теорем і методів. А математичний апарат, який використовується в даній
роботі, це: аналіз поведінки розв’язків квадратного рівняння та розв’язків
системи двох лінійних рівнянь в залежності від коефіцієнтів.
Робота може бути використана при проведенні додаткових занять,
присвячених розгляду вибраних неелементарних питань математики, за
допомогою методів, які доступні школярам.
Список літератури:

1. С.А. Ашманов. Математические модели и метод в экономике.

МГУ. 1980
1. С.А. Ашманов. Введение в математическую экономику. “Наука”.

М., 1984
1. Р. Беллман. Введение в теорию матриц. “Наука”. М. 1969
1. Ф.Р. Гантмахер. Теория матриц. “Наука”. М.,1967
1. Б.В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. “Наука”. М., 1988
1. С. Карлин. Математические метод в теории игр, программирования и
экономике. “Мир”. М., 1964
1. Дж. Кемени, Дж. Скелл, Дж. Томпсон. Введение в конечную математику.
Иностранная литература. М. 1963
1. П. Ланкастер. Теория матриц. “Наука”. М. 1978
1. Ю.М. Свирежев, Д.О.Логофет. Устойчивость биологических сообществ.
“Наука”. М. 1978
1. В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложение.

Т1. “Мир”.М. 1984

1 2