Несобственный интеграл .




                 Несобственный интеграл
              с   несколькими     особенностями .

 Если  функция   определена  на интервале  (a,b)  и неограниченна  в  точках
 a и b  и  при некотором выборе  точки с  (a,b)   существуют   несобственные
интегралы  на полуинтервалах (a,c] и[c,b),c((a,b).
При этом существование и значение данного интеграла  не  зависит  от  выбора
точки  с.Тогда



         Y

 .                      f(x)



       0       a  k       c           l  b        X


Такие  интегралы  называются  несобственными  интегралами   с   двумя   (или
несколькими) особенностями.(рисунок 2)
Вообще,если функция f :(R  имеет на  промежутке    конечное  число
особых точек и  Т:  a=k1,  что  на
каждом  из,i=1(n,особой  точкой функции  является  только  одна  из
концевых точек. Тогда, если каждый из интегралов (1) :

cходится,  то



cходится.  Если  хотя  бы   один   из   (1)   расходится,то   и   весь   (2)
расходится.Действительно,расходимость хотя бы  одного  из  участников  суммы
(2) означает,что данный интеграл (1) либо имеет бесконечную  величину  ,либо
не  имеет  конкретного  значения    тем самым обращая всю сумму (2)  либо  в
бесконечность,либо лишая ее конкретного значения.

   Y



                                                                f(x)


                 0                     a=k1                   k2………ki…….kn-1
kn=b(+(  в данном случае).
       Рис.,поясняющий  несобственный интеграл с  несколькими  особенностями
.



Пример1.

Несобственный интеграл имеет две особенности    : в точке  x=0  функция
неограниченно возрастает (собственная особая  точка) ,при   x(((  имеем
интеграл  по бесконечному  промежутку(несобственная особая точка). Разобьём
 интервал  интегрирования  (0;+((  так, чтобы   на  каждом промежутке
подынтегральная  функция  f(x) имела   не  более  одной  особенности
.Например,
(0;  1)  и   (1;+().
По определению  исходный  интеграл


Сходится  тогда,и  только  тогда , когда  сходятся  оба  интеграла
Первый  из  этих  интегралов  расходится  при  p ( 1  , второй -  при  p (
1 ,таким  образом  ,  одновременно  оба  эти  интеграла  не  сходятся    ни
 при  каком  значении  p  .Итак  ,  исходный  интеграл  расходится  при
любом  значении  p  .


Пример  2.


Исследуем сходимость интеграла



Решение.


Подынтегральная функция   имеет  на  на  промежутке  интегрирования  ( 0;+(
)  две  особые  точки   x= 0  и  (+(),  следовательно,  необходимо
смотреть сходимость  каждого  из  интегралов

Для  некоторого  a ( (0; +( ).Начнём  с  простейших  оценок  .Так  как

Подынтегральная   функция   неотрицательна ,  и , в  силу  признака
сравнения
Cходится  абсолютно.

При  x((  имеем

Значит,по  признаку  сравнения   интеграл   и   на  промежутке  (a;+()
сходится абсолютно,так  как  сходится  интеграл  от  модуля  функции:
Вывод : исходный  интеграл  сходится,причём  абсолютно.



Пример 3
На концах отрезка  [0,2]  подынтегральная  функция определена.  Но  x=1    -
 особая   точка.
Для  сходимости  интеграла  необходима сходимость  интегралов

Рассмотрим   сначала
При  b(1  F(b)=ln[(1-x)/(1+x)]  не   имеет   предела   (   данный   и,   как
следствие, исходный   интегралы   расходятся.
Примечание.
Если  не  обратить   внимания   на   особую   точку   и   применить  формулу
Ньютона-  Лейбница,  то   можно   получить   неверный  ответ   ln1/3.Поэтому
прежде  чем  исследовать  несобственный   интеграл  на  сходимость,  полезно
внимательно изучить  подынтегральную  функцию ,найти   ее  особые  точки   и
построить   эскиз.  В        нашем  примере   функция   на  отрезке    [0,2]
выглядит   примерно  так:
          Y


           1


           0          1         2                    X



Пример 4.



.
Следовательно,расходится  весь  интеграл,отметим  только,что  на   интервале
[3;5) функция сравнения имеет вид


Часто для  нахождения  функции  сравнения  требуется  таблица  эквивалентных
замен (следствие из формулы Тейлора)

При  x ( 0
Ln (1+x) ~ x

Sin x  ~ x

Tg x  ~  x

Arcsin x,arctg x  ~  x


Необходимо  помнить  также,что  при x((
Cosx, sinx  есть  ограниченные   функции,

Arctg x (  (/2,  (-(/2   при   x(-()

Arcctg x (  0     (( при x(-()

При  x ( 0
Arccos x,  arcctg x ( (/2



Напоминание:

 По   правилу  Лопиталя



Пример 5.



Исходный  интеграл  ,состоящий  из   суммы   сходящегося   и   расходящегося
интегралов,тоже расходится.


Следующие   примеры   иллюстрируют   исследование   сходимости   с   помощью
непосредственного  вычисления  значения  несобственного  интеграла.

Пример  6.


Интеграл  сходится  -  его  значение  стремится  к  -4.
Предел



С помощью примера 6 решим пример 7:



Пример 7.



В   результате   получили   сумму    двух    сходящихся     интегралов     -
следовательно , и  исходный   интеграл   тоже сходится.


Пример 8.

 Интеграл   расходится.


Пример  9.



Данный   интеграл   имеет   две  особенности  x(0  и   x((  .
Обратите  внимание   на    различные   приёмы   при   исследовании   функций
при     стремлении  переменной  x  к  нулю  и  к  бесконечности.



Значит  , сходится  исходный    интеграл  , как   сумма   двух    сходящихся
.



-----------------------
1 2