Учебник по Геометрии.

Оглавление учебника

ГЕОМЕТРИЯ: Стереометрия

21. Шар

Сечение шара плоскостью.

Тело, образующееся при вращении полукруга вокруг диаметра, ограничивающего его, называется шаром, а поверхность, образуемая при этом полуокружностью, называется шаровой или сферической поверхностью. Можно также сказать, что эта поверхность есть геометрическое место точек, одинаково удалённых от одной и той же точки, называемой центром шара.

Отрезок, соединяющий центр с какой-нибудь точкой поверхности, называется радиусом, а отрезок, соединяющий две точки поверхности и проходящий через центр, называется диаметром шара.

Теорема: Всякое сечение шара плоскостью есть круг.

Наибольший радиус сечения получается, когда секущая плоскость проходит через центр шара. Круг, получаемый в этом случае, называется большим кругом.

Свойства больших кругов.

Теорема: Всякая плоскость, проходящая через центр шара, делит его поверхность на две симметричные и равные части.

Теорема: Через две точки шаровой поверхности, не лежащие на концах одного диаметра, можно провести окружность большого круга и только одну.

Плоскость, касательная к шару.

Плоскость, имеющая с шаровой поверхностью только одну общую точку, называется касательной плоскостью.

Теорема: Плоскость, перпендикулярная к радиусу в конце его, лежащем на поверхности шара, есть касательная.

Обратная теорема: Касательная плоскость перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

Поверхность шара и его частей.

Часть шаровой поверхности, отсекаемая от неё какой-нибудь плоскостью, называется сегментной поверхностью. Часть шаровой поверхности, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями, называется шаровым поясом или зоной.

Теоремы.

1. Площадь сегментной поверхности равна произведению её высоты на окружность большого круга.

2. Площадь шарового пояса равна произведению его высоты на площадь большого круга.

Теорема: Площадь поверхности шара равна учетверённой площади большого круга.

Объём шара и его частей.

Тело, получаемое от вращения кругового сектора вокруг диаметра, не пересекающего его поверхность, называется шаровым сектором.

Теорема: Объём шарового сектора равен произведению поверхности его основания на треть радиуса.
Теорема: Объём шара равняется произведению его поверхности на треть радиуса.

Теорема: Объём шарового сегмента равен объёму цилиндра, у которого радиус основания есть высота сегмента, а высота равна радиусу шара, уменьшенному на треть высоты сегмента.