Учебник по Геометрии.

Оглавление учебника

ГЕОМЕТРИЯ: Планиметрия

12. Правильные многоугольники и вычисление длины окружности

Правильные многоугольники. Ломаная линия называется правильной, если она удовлетворяет следующим трём условиям: 1) отрезки, составляющие её, равны; 2) углы, составленные каждыми двумя соседними отрезками равны; 2) из каждых трёх последовательных отрезков первый и третий расположены по одну сторону от второго. Многоугольник называется правильным, если он ограничен правильной ломаной линией.

Теорема. Если окружность разделена на некоторое число равных частей, то:

1) соединив хордами каждые две соседние точки деления, получим правильный многоугольник (вписанный),

2) проведя через все точки деления касательные до взаимного пересечения, получим правильный многоугольник (описанный).

Следствие. Если многоугольник правильный, то:

1) около него можно описать окружность;

2) в него можно вписать окружность.

Следствие. Две окружности: описанная около правильного многоугольника и вписанная в него - имеют один и тот же центр.

Общий центр окружности, описанной около правильного многоугольника и вписанной в него, называется центром этого многоугольника, радиус описанной окружности называется радиусом многоугольника, а радиус вписанной окружности - апофемой его. Угол, составленный двумя радиусами, проведёнными к концам какой-нибудь стороны правильного многоугольника называется центральным углом .

Теорема. Правильные одноимённые многоугольники подобны и стороны их относятся как радиусы или апофемы.

Следствие. Периметры правильных одноимённых многоугольников относятся как радиусы или как апофемы.

Вычисление длины окружности и её частей. Длиной окружности называется тот предел, к которому стремится периметр правильного многоугольника, вписанного в эту окружность, когда число сторон его неограниченно удваивается. Отношение длины окружности к её диаметру есть число постоянное для всех окружностей. Это постоянное число принято обозначать буквой p (p=3,1415926...) . Таким образом, если обозначить длину окружности буквой С, верна следующая формула: C=2pR.

Длина окружности есть 2pR, значит длина дуги в 1 градус равна , следовательно, длина s дуги, содержащей n градусов, выразится так: .

Дуга, равная радиусу, называется радианом.