Учебник по Геометрии.

Оглавление учебника

ГЕОМЕТРИЯ: Планиметрия

4. Свойство перпендикуляра, проведенного через середину отрезка, и свойство биссектрисы угла

Оба эти свойства очень сходны между собой, поэтому изложим их параллельно.

1. Если какая-нибудь точка K лежит на перпендикуляре MN, проведённому к отрезку AB через его середину, то она одинаково удалена от концов отрезка(AK=BK).

Т.к. АО=ОВ, сторона КО - общая и Р АОК=Р ВОК, то треугольники АОК и ВОК равны, значит АК=ВК.

2. (Обратная теорема) Если какая-нибудь точка К одинаково удалена от концов отрезка АВ, то она лежит на перпендикуляре, проведённом через середину отрезка.

Проведём через К прямую MN, перпендикулярную АВ; тогда мы получим два прямоугольных треугольника КАО и КВО, которые, имея общий катет КО и равные гипотенузы, равны, поэтому АО=ОВ.

1. Если какая-нибудь точка K лежит на биссектрисе OM угла AOB, то она одинаково удалена от сторон угла (перпендикуляры KD и KC равны).

Так как ОМ делит угол пополам, то прямоугольные треугольники ОСК и ODK равны, имея общую гипотенузу и равные острые углы, потому KC=KD.

2. (Обратная теорема) Если какая-нибудь точка К одинаково удалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.

Через О и К проведём прямую ОМ. Тогда получим два прямоугольных треугольника OCK и ODK , которые, имея общую гипотенузу и равные катеты, равны, а потому раны и углы при вершине О.

Геометрическое место. Геометрическим местом точек, обладающим некоторым свойством называется такая линия или поверхность, которая содержит в себе все точки, обладающие этим свойством и не содержит ни одной точки, не обладающей им.

Из предыдущих теорем следует:

Геометрическое место точек, одинаково удалённых от двух данных точек, есть перпендикуляр, проведённый к отрезку прямой, соединяющему эти две точки, через его середину .

Геометрическое место точек, одинаково удалённых от сторон угла, есть биссектриса этого угла.