На
Главную
ГДЗ:
Английский
язык Алгебра Геометрия Физика Химия Русский
язык Немецкий
язык
Подготовка к экзаменам (ЕГЭ) Программы и пособия Краткое содержание Онлайн учебники
Шпаргалки Рефераты Сочинения Энциклопедии Топики с переводами
Все темы:"Рефераты по Математике"
Теория устойчивости .
Введение
Одной из основных задач теории автоматического регулирования является
изучение динамических процессов, происходящих в автоматических системах.
Автоматические системы при нормальной эксплуатации должны поддерживать
определенный режим работы объекта регулирования при действии на него многих
возмущающих факторов. Такое поведение может быть достигнуто лишь в системах
автоматического регулирования, обладающих устойчивостью по отношению к этим
воздействиям. Устойчивость системы означает, что малое изменение входного
сигнала или какого-нибудь возмущения, начальных условий или параметров не
приведут к значительным отконениям выходного сигнала. Это определение
раскрывает физический смысл понятия устойчивости.
Теория устойчивости, основоположниками которой являются великий
русский ученый А.М. Ляпунов и великий французский ученый А.Пуанкаре,
представляет собой важный раздел прикладной математики. Создателями
современной теории устойчивости являются русские ученые Н.Г. Четаев, Е.А.
Барбашин, Н.П. Еругин, Н.Н. Красовский.
1. Понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости по
Ляпунову.
Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы дифференциальных
уравнений
x’ = f ( t , x )
(1)
с начальными условиями x ( t0 ) = x0
(2)
где x = ( x1, x2, ... , xn ) - n - мерный вектор; t ( I = [t0, +
( [ - независимая переменная, по которой производится дифференцирование;
f ( t, x ) = ( f1 ( t , x ) , f2 ( t , x ) , ... , fn ( t , x ) ) - n -
мерная вектор - функция.
Комментарии к задаче Коши (1), (2). Для простоты восприятия эту
задачу можно сначала трактовать как задачу Коши для скалярного
дифференциального уравнения первого порядка вида x’= f ( t , x ) с
начальным условием x ( t0 ) = x0. С целью упрощения все рисунки п. 10
,если нет специальных оговорок, приводится для случая n = 1.
x
0 t
Рис.1
Так как задача теории устойчивости впервые возникла в механике, то
переменную t принято интерпретировать как время, а искомую вектор-функцию
x ( t ) - как движение точки в зависимости от времени в пространстве Rn+1
(рис.1)
Пусть задача Коши (1), (2) удовлетворяет условиям теоремы
существования и единственности. Тогда через каждую точку ( t0 , x0 )
области единственности решений проходит только одна интегральная кривая.
Если начальные данные ( t0 , x0 ) изменяются, то изменяется и решение.
Тот факт, что решение зависит от начальных данных, обозначается следующим
образом: x ( t ) = x ( t ; t0 , x0 ). Изменение этого решения в данной
математической модели с изменением начальных данных ( t0 , x0 ) приводят к
существенному изменению решения x ( t ; t0 , x0 ) , приводит к тому,
что такой моделью нельзя пользоваться, поскольку начальные данные ( t0 ,
x0 ) получаются из опыта, а изменения не могут быть абсолютно точными.
Естественно, что в качестве математической модели пригодна лишь та задача
Коши, которая устойчива к малым изменениям начальных данных.
Определим понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и
неустойчивости в смысле Ляпунова. Для этого отклоение решения x ( t ) = x
( t ; t0 , x0 ) , вызванное отклонением ( x0 начального значения x0 ,
будем записывать следующим образом:
| x ( t ; t0 , x0 + ( x0 ) - x ( t ) | = | x ( t ; t0 , x0 + ( x0 )
- x ( t ; t0 , x0 ) |.
Определение 1. Решение x ( t ) = x ( t ; t0 , x0 ) системы (1)
называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или
устойчивым), если оно непрерывно по x0 на интервале I = = [ t0,
+ ( [ , т.е. ( ( > 0 ( ( > 0 такое, что ( ( x0
| ( x0 | ( ( ( | x ( t ; t0 , x0 + ( x0 ) - x ( t ) | (
( ( t ( t0.
Если, кроме того, отклонение решения x ( t ) стремится к нулю при t (
+ ( для достаточно малых ( x0 , т.е. ( ( > 0 ( ( x0.
| ( x0 | ( ( ( | x ( t ; t0 , x0 + ( x0 ) - x ( t ) |
( 0 , t ( + ( . (3)
то решение x ( t ) системы (1) называется асимптотически устойчивым в
положительном направлении (или асимптотически устойчивым).
Аналогично определяются различные типы устойчивости решения в
отрицательном направлении.
Комментарий к определению 1. 1) Геометрически устойчивость по
Ляпунову решение х ( t ) можно интерпритировать следующим образом ( рис.1
) : все решения x ( t ; t0 , x0 + ( x0 ) , близкие в начальный момент t0 к
решению x ( t ) (т.е. начинающиеся в пределах ( - трубки ) , не выходят
за пределы ( - трубки при всех значениях t ( t0 .
x
0 t
Рис.2
2) Асимптотическая устойчивость есть устойчивость с дополнительным
условием (3) : любое решение x1 ( t ) , начинающееся в момент t0 в ( -
трубке, с течением времени неограниченно приближается к решению x ( t )
(рис.2). Трубка радиуса ( называется областью притяжения решения x ( t ).
Решение x2 ( t ), начинающееся при t = t0 за пределами области притяжения,
но в пределах ( - трубки, не покидает ( - трубку, хотя может и не
приближаться к решению x(t).
Определение 2. Решение x ( t ) = x ( t ; t0 , x0 ) системы (1)
называется неустойчивып по Ляпунову в положительном направлении (или
неустойчивым), если оно не является устойчивым в положительном направлении.
Аналогично определяется неустойчивость в отрицательном направлении.
Комментарий к определению 2. Геометрически неустойчивость по Ляпунову
означает, что среди решений, близких в начальный момент t0 к решению х ( t
) , найдется хотя бы одно, которое в некоторый момент t1 ( свой для каждого
такого решения) выйдет за пределы ( - трубки (рис.3).
Приведем примеры из механики, иллюстрирующие определения различных
типов устойчивости для одномерного случая, т.е. n = 1.
Рассмотрим маятник, состоящий из точечной массы m, укрепленной на
невесомом стержне длиной l (рис.4). Выведем маятник из состояния I,
отклонив стержень на угол ( ; тогда, как известно из опыта, он будет
стремиться занять вновь положение I. Если пренебречь сопротивлением
окружающей среды, то маятник будет колебаться возле положения I сколь
угодно долго с амплитудой, равной начальному отклонению, - это модель
устойчивого положения равновесия. Если же учитывать сопротивление
окружающей среды, то амплитуда колебаний маятника будет уменьшаться и в
итоге он снова займет положение I - это модель асимптотически устойчивого
положения равновесия. Если маятник находится в положении II, то малейшее
его смещение приведет к удалению маятника от состояния II - это модель не
устойчивого положения равновесия.
x
0 t
Рис.3
Рис.4
Исследование устойчивости произвольного решения x ( t ) системы (1)
всегда можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения некоторой
преобразованной системы. Действительно, в системе (1) произведем
подстановку y ( t ) = x - x (t). Тогда получим систему
y’ = F ( t, y ).
(4)
где F ( t , y ) = f ( t , y ( t ) + x ( t ) ) - f ( t , x ( t ) ) , F (t,
0) ( 0 ( t ( t0.
Решению x ( t ) системы (1) соответствует нулевое решение y (t) ( 0
системы (4).
В дальнейшем будем предполагать, что система (1) имеет нулевое
решение, т.е. f ( t , 0 ) = 0 ( t ( t0, и ограгничимся
исследованием устойчивости нулевого решения. Переформулируем определения
различных типов устойчивости для нулевого решения x ( t ) ( 0
системы (1).
Определение 3. Нулевое решение x ( t ) ( 0 системы (1) называется
устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если (
( > 0 ( ( = ( ( ( ) > 0 такое, что ( x0
| ( x0 | ( ( ( | x ( t ; t0 , x0 ) | ( (
( t ( t0.
Если кроме того,
( ( > 0 ( x0 | ( x0 | ( ( ( | x ( t ; t0
, x0 ) | ( 0 , t ( + ( ,
то решение x ( t ) ( 0 системы (1) называется асимптотически
устойчивым в положительном направлении ( или асимптотически устойчивым ) .
Определение 4. Нулевое решение x ( t ) ( 0 системы (1)
называется неустойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или
неустойчиво), если оно не является устойчивым в положительном направлении,
т.е.
( ( > 0 ( t1 > t0 ( ( > 0 x0 ( 0 | x0 | ( (
( | x ( t ; t0 , x0 ) | > ( .
Геометрическая интерпритация устойчивости, асимптотической
устойчивости и неустойчивости нулевого решения x ( t ) ( 0 системы (1)
дана соответственно на рис.5-7.
x
t
0
Рис.5
x
t
0
Рис.6
x
t
0
Рис.7
2. Устойчивость решения автономной системы. Устойчивость решения системы
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной
(или стационарной, или консервативной, или динамической), если независимая
переменная не входит явно в систему уравнений.
Нормальную автономную систему n - го порядка можно записать в
векторной форме :
dx / dt = f ( x ).
(5)
Рассмотрим задачу Коши для системы (5) с начальными условиями (2). В
дальнейшем предполагаем, что задача Коши (5), (2) удовлетворяет условиям
теоремы существования и единственности.
Пусть x = x ( t ) - есть решение системы (5). Направленная кривая (
, которую можно параметрически задать в виде xi = xi ( t ) ( i = 1,
... , n ), называется траекторией (фазовым графиком) системы (5) или
траекторией решения x = x ( t ). Пространство Rn с координатами ( x1 , ...
, xn ), в котором расположены траектории системы (5), называется фазовым
пространством автономной системы (5). Известно, что интегральные кривые
системы (5) можно параметрически задать в виде t = t , x1 = x1 ( t ), ...
, xn = xn ( t ). Следовательно, интегральная кривая принадлежит
пространству Rn+1 с координатами ( t , x1 , x2 , ... , xn ) , а траектория
является проекцией интегральной кривой на пространство Rn параллельно оси
t. Проиллюстрируем это для случая n = 2 , т.е. когда Rn+1 - трехмерное
пространство, а фазовое пространство Rn - двумерная плоскость. На рис.8,а
изображена интегральная кривая, заданная параметрическими уравнениями t =
t, x1 = x1 ( t ) , x2 = x2 ( t ), на рис.8,б - ее проекция на плоскость,
т.е. траектория, заданная параметрическими уравнениями x1 = x1 ( t ) , x2 =
x2 ( t ). Стрелкой указано направление возрастания параметра t.
x2
x2
0 t
0 x1
x1
а) Рис.8
б)
Определение 5. Точка ( a1, a2 , ... , an ) называется точкой покоя
(положением равновесия) автономной системы (5), если правые части f1 , f2 ,
... , fn системы (5) обращаются в этой точке в нуль, т.е. f (a) = 0, где
a = ( a1 , a2 , ... , an ) , 0 = ( 0 , 0 , ... , 0 ) .
Если ( a1 , ... , an ) - точка покоя, то система (5) имеет постоянное
решение x ( t ) = a. Как известно, исследование устойчивости любого, а
значит, и постоянного решения a можно свести к исследованию устойчивости
нулевого решения. Поэтому далее будем считать, что система (5) имеет
нулевое решение x ( t ) ( 0 , т.е. f ( 0 ) = 0, и точка покоя совпадает
с началом координат фазового пространства Rn. В пространстве Rn+1 точке
покоя соответствует нулевое решение. Это изображено на рис.8 для случая n =
2.
Таким образом, устойчивость нулевого решения системы (5) означает
устойчивость начала координат фазового пространства системы (5), и
наоборот.
Дадим геометрическую интерпретацию устойчивого, асимптотически
устойчивого и неустойчивого начала плоскости, т.е. когда n = 2. Для этого
следует спроектировать аналоги рис.5-7 в двумерном случае на фазовую
плоскость R2, причем проекциями ( - трубки и ( - трубки являются
окружности с радиусами ( и ( . Начало x = 0 устойчиво, если все
траектории, начинающиеся в пределах ( - окружности, не покидают ( -
окружность ( t ( t0 (рис.9) ; асимптотически устойчиво, если оно
устойчиво и все траектории, начинающиеся в области притяжения ( ,
стремятся к началу (рис.10) ; неустойчиво, если для любой ( -
окружности и всех ( > 0 существует хотя бы одна траектория, покидающая
ее (рис.11).
Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами, имеющая вид
dx / dt = A x,
(6)
где A - постоянная матрица размера n ( n , является частным случаем
системы (5). Следовательно, для этой системы справедливы все сделанные выше
утверждения об автономных системах.
x2
0 x1
Рис.9
x2
0 x1
Рис.10
x2
0 x1
Рис.11
3. Простейшие типы точек покоя.
Пусть имеем систему дифференциальных уравнений
( dx / dt = P ( x , y ),
( (A)
( dy / dt = Q ( x , y ).
Точка ( x0 , y0 ) называется точкой покоя или особой точкой системы (A),
если P ( x0 , y0 ) = 0 , Q ( x0 , y0 ) = 0.
Рассмотрим систему
( dx / dt = a11 x + a12 y,
( (7)
( dy / dt = a21 x + a22 y.
где aij ( i , j = 1 , 2 ) - постоянные. Точка ( 0 , 0 ) является точкой
покоя системы (7). Исследуем расположение траектории системы (7) в
окрестности этой точки. Ищем решение в виде
x = ( 1 e k t , y = ( 2 e k t .
(8)
Для определения k получаем характеристическое уравнение
a11 - k a12
= 0. (9)
a21 a22 - k
Рассмотрим возможные случаи.
I. Корни характеристического уравнения действительны и различны.
Подслучаи :
1) k1 < 0, k2 < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый
узел).
2) k1 > 0, k2 > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).
3) k1 > 0, k2 < 0. Точка покоя неустойчива (седло).
4) k1 = 0, k2 > 0. Точка покоя неустойчива.
5) k1 = 0, k2 < 0. Точка покоя устойчива, но не асимптотически.
II. Корни характеристического уравнения комплексные : k1 = p
+ q i, k2 = p - q i. Подслучаи :
1) p < 0 , q ( 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый
фокус).
2) p > 0 , q ( 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый фокус).
3) p = 0, q ( 0. Точка покоя устойчива (центр). Асимптотической
устойчивости нет.
III. Корни кратные: k1 = k2 . Подслучаи :
1) k1 = k2 < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый
узел).
2) k1 = k2 > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).
3) k1 = k2 = 0. Точка покоя неустойчива. Возможен исключительный
случай, когда все точки плоскости являются устойчивыми точками покоя.
Для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами
dxi n
= ( ai j xj ( i = 1 , 2 , ... , n )
(10)
dt i=1
характеристическим уравнением будет
a11 - k a12 a13 ... a1n
a21 a22 - k a23 ... a2n = 0.
(11)
. . . . . . . .
an1 an2 an3 ... ann - k
1) Если действительные части всех корней характеристического уравнения
(11) системы (10) отрицательны, то точка покоя xi ( t ) ( 0 ( i = 1 ,
2 , ... , n ) асимптотически устойчива.
2) Если действительная часть хотя бы одного корня характеристического
уравнения (11) положительна, Re k i = p i > 0, то точка покоя xi ( t ) (
0 ( i = 1, 2, ... n ) системы (10) неустойчива.
3) Если характеристическое уравнение (11) имеет простые корни с
нулевой действительной частью (т.е. нулевые или чисто мнимые корни ), то
точка покоя xi ( t ) ( 0 ( i = 1, 2, ... n ) системы (10) устойчива, но
не асимптотически.
Для системы двух линейных линейных уравнений с постоянными
действительными коэфициентами
.
( x = a11 x + a12 y,
( .
(12)
( y = a21 x + a22 y
характеристическое уравнение (9) приводится к виду
k2 + a1 k + a2 = 0.
1) Если a1 > 0 , a2 > 0, то нулевое решение системы (12)
асимптотически устойчиво.
2) Если а1 > 0 , a2 = 0, или a1 = 0 , a2 > 0 , то нулевое решение
устойчиво, но не асимптотически.
3) Во всех остальных случаях нулевое решение неустойчиво; однако при
a1 = a2 = 0 возможен исключительный случай, когда нулевое решение
устойчиво, но не асимптотически.
1 2 3