Статистическое определение вероятности.
Рассмотрим случайный эксперимент, заключающийся в том, что
подбрасывается игральная кость, сделанная из неоднородного материала. Ее
центр тяжести не находится в геометрическом центре. В этом случае мы не
можем считать исходы (выпадение единицы, двойки и т.д.) равновероятными. Из
физики известно, что кость более часто будет падать на ту грань, которая
ближе к центру тяжести. Как определить вероятность выпадения, например,
трех очков? Единственное, что можно сделать, это подбросить эту кость n раз
(где n-достаточно большое число, скажем n=1000 или n=5000), подсчитать
число выпадений трех очков n3 и считать вероятность исхода, заключающегося
в выпадении трех очков, равной n3/n - относительной частоте выпадения трех
очков. Аналогичным образом можно определить вероятности остальных
элементарных исходов — единицы, двойки, четверки и т.д. Теоретически такой
образ действий можно оправдать, если ввести статистическое определение
вероятности.
Вероятность P((i) определяется как предел относительной частоты
появления исхода (i в процессе неограниченного увеличения числа случайных
экспериментов n, то есть
,
где mn((i) – число случайных экспериментов (из общего числа n произведенных
случайных экспериментов), в которых зарегистрировано появление
элементарного исхода (i.
Так как здесь не приводится никаких доказательств, мы можем только
надеяться, что предел в последней формуле существует, обосновывая надежду
жизненным опытом и интуицией.
Геометрическая вероятность
В одном специальном случае дадим определение вероятности события для
случайного эксперимента с несчетным множеством исходов.
Если между множеством ( элементарных исходов случайного эксперимента и
множеством точек некоторой плоской фигуры ( (сигма большая) можно
установить взаимно-однозначное соответствие, а также можо установить
взаимно-однозначное соответствие между множеством элементарных исходов,
благоприятствующих событию А, и множеством точек плоской фигуры ( (сигма
малая), являющейся частью фигуры (, то
,
где s — площадь фигуры (, S — площадь фигуры (.
Пример. Два человека обедают в столовой, которая открыта с 12 до 13
часов. Каждый из них приходит в произвольный момент времени и обедает в
течение 10 минут. Какова вероятность их встречи?
Пусть x — время прихода первого в столовую, а y — время прихода
второго .
Рис.6
Можно установить взаимно-однозначное соответствие между всеми парами
чисел (x;y) (или множеством исходов) и множеством точек квадрата со
стороной, равной 1, на координатной плоскости, где начало координат
соответствует числу 12 по оси X и по оси Y, как изображено на рисунке 6.
Здесь, например, точка А соответствует исходу, заключающемуся в том, что
первый пришел в 12.30, а второй - в 13.00. В этом случае, очевидно, встреча
не состоялась.
Если первый пришел не позже второго (y ( x), то встреча произойдет при
условии 0 ( y - x ( 1/6 (10 мин.- это 1/6 часа).
Если второй пришел не позже первого (x ( y), то встреча произойдет
при условии 0 ( x - y ( 1/6..
Между множеством исходов, благоприятствующих встрече, и множеством
точек области (, изображенной на рисунке 7 в заштрихованном виде, можно
установить взаимно-однозначное cоответствие.
Рис. 7
Искомая вероятность p равна отношению площади области ( к площади
всего квадрата.. Площадь квадрата равна единице, а площадь области ( можно
определить как разность единицы и суммарной площади двух треугольников,
изображенных на рисунке 7. Отсюда следует:
Непрерывное вероятностное пространство.
Как уже говорилось ранее, множество элементарных исходов может быть
более, чем счетным (то есть несчетным). В этом случае нельзя считать любое
подмножество множества событием.
Чтобы ввести определение случайного события, рассмотрим систему
(конечную или счетную) подмножеств пространства элементарных исходов
.
В случае выполнения трех условий:
1) принадлежит этой системе;
2) из принадлежности А этой системе следует принадлежность этой
системе;
3) из принадлежности и этой системе следует принадлежность Ai (
Aj этой системе
такая система подмножеств называется алгеброй.
Пусть — некоторое пространство элементарных исходов. Убедитесь в
том, что две системы подмножеств:
1) , ; 2) , А, , (здесь А— подмножество () являются алгебрами.
Пусть A1 и A2 принадлежат некоторой алгебре. Докажите, что A1 \ A2 и
A1( A2 принадлежат этой алгебре.
Подмножество А несчетного множества элементарных исходов является
событием, если оно принадлежит некоторой алгебре.
Сформулируем аксиому, называемую аксиомой А.Н. Колмогорова.
Каждому событию соответствует неотрицательное и не превосходящее
единицы число P(А), называемое вероятностью события А, причем функция P(А)
обладает следующими свойствами:
1) Р()=1
2) если события A1, A2,..., An несовместны, то
P(A1(A2(...(An) = P (A1) + P (A2) +...+ P(An)
Если задано пространство элементарных исходов , алгебра событий и
определенная на ней функция Р, удовлетворяющая условиям приведенной
аксиомы, то говорят, что задано вероятностное пространство.
Это определение вероятностного пространства можно перенести на случай
конечного пространства элементарных исходов . Тогда в качестве алгебры
можно взять систему всех подмножеств множества .
Формулы сложения вероятностей.
Из пункта 2 приведенной аксиомы следует, что если A1 и A2 несовместные
события, то
P(A1(A2) = P(A1) + P(A2)
Если A1 и A2 — совместные события, то A1(A2 =(A1\ A2)(A2, причем
очевидно, что A1\A2 и A2 — несовместные события. Отсюда следует:
P(A1(A2) = P(A1\ A2) + P(A2) (*)
Далее очевидно: A1 = (A1\ A2)((A1(A2), причем A1\ A2 и A1(A2 -
несовместные события, откуда следует: P(A1) = P(A1\ A2) + P(A1(A2) Найдем
из этой формулы выражение для P(A1\ A2) и подставим его в правую часть
формулы (*). В результате получим формулу сложения вероятностей:
P(A1(A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1(A2)
Из последней формулы легко получить формулу сложения вероятностей для
несовместных событий, положив A1(A2 = (.
Пример. Найти вероятность вытащить туза или червовую масть при
случайном отборе одной карты из колоды в 32 листа.
Р( ТУЗ ) = 4/32 = 1/8; Р( ЧЕРВОВАЯ МАСТЬ ) = 8/32 = 1/4;
Р( ТУЗ ЧЕРВЕЙ ) = 1/32;
Р(( ТУЗ ) ( (ЧЕРВОВАЯ МАСТЬ )) = 1/8 + 1/4 - 1/32 =11/32
Того же результата можно было достичь с помощью классического
определения вероятности, пересчитав число благоприятных исходов.
Условные вероятности.
Рассмотрим задачу. Студент перед экзаменом выучил из 30 билетов билеты
с номерами с 1 по 5 и с 26 по 30. Известно, что студент на экзамене вытащил
билет с номером, не превышающим 20. Какова вероятность, что студент вытащил
выученный билет?
Определим пространство элементарных исходов: (=(1,2,3,...,28,29,30).
Пусть событие А заключается в том, что студент вытащил выученный билет:
А = (1,...,5,25,...,30,), а событие В — в том, что студент вытащил билет из
первых двадцати: В = (1,2,3,...,20)
Событие А(В состоит из пяти исходов: (1,2,3,4,5), и его вероятность
равна 5/30. Это число можно представить как произведение дробей 5/20 и
20/30. Число 20/30 - это вероятность события B. Число 5/20 можно
рассматривать как вероятность события А при условии, что событие В
произошло (обозначим её Р(А/В)). Таким образом решение задачи определяется
формулой
P(А(В) = Р(А/В) Р(B)
Эта формула называется формулой умножения вероятностей , а вероятность
Р(А/В) — условной вероятностью события A.
Пример..Из урны, содержащей 7 белых и 3 черных шаров, наудачу один за
другим извлекают (без возвращения) два шара. Какова вероятность того, что
первый шар будет белым, а второй черным?
Пусть X — событие, состоящее в извлечении первым белого шара, а Y —
событие, состоящее в извлечении вторым черного шара. Тогда X(Y - событие,
заключающееся в том, что первый шар будет белым, а второй — черным. P(Y/X)
=3/9 =1/3 — условная вероятность извлечения вторым черного шара, если
первым был извлечен белый. Учитывая, что P(X) = 7/10, по формуле умножения
вероятностей получаем: P(X(Y) = 7/30
Событие А называется независимым от события В (иначе: события А и В
называются независимыми), если Р(А/В)=Р(А). За определение независимых
событий можно принять следствие последней формулы и формулы умножения
P(А(В) = Р(А) Р(B)
Докажите самостоятельно, что если А и В — независимые события, то
и тоже являются независимыми события.
Пример.Рассмотрим задачу, аналогичную предыдущей, но с одним
дополнительным условием: вытащив первый шар, запоминаем его цвет и
возвращаем шар в урну, после чего все шары перемешиваем. В данном случае
результат второго извлечения никак не зависит от того, какой шар - черный
или белый появился при первом извлечении. Вероятность появления первым
белого шара (событие А) равна 7/10. Вероятность события В - появления
вторым черного шара - равна 3/10. Теперь формула умножения вероятностей
дает: P(А(В) = 21/100.
Извлечение шаров способом, описанным в этом примере, называется
выборкой с возвращением или возвратной выборкой.
Следует отметить, что если в двух последних примерах положить
изначальные количества белых и черных шаров равными соответственно 7000 и
3000, то результаты расчетов тех же вероятностей будут отличаться
пренебрежимо мало для возвратной и безвозвратной выборок.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
