Учебник по Физике.

Оглавление учебника

Кинематика теории относительности. Энергия и импульс.

Преобразования Лоренца. Формула, описывающая распространение фронта сферической световой волны, может быть переписана в виде:



Введем обозначение:



Величина s² называется интервалом. Тогда уравнение распространения световой волны примет вид: s² = 0.

Из геометрических соображений очевидно, что в областях абсолютного прошлого и абсолютного будущего (иначе их называют времениподобными областями) s² > 0, а в пространственноподобной области s² < 0. Поскольку скорость света не зависит от выбора ИСО, то разделение всех событий по отношению к данному на те, которые лежат во времениподобной или пространственноподобной областях, не зависит от системы отсчета. Другими словами, интервал s инвариантен относительно перехода из одной ИСО в другую. Согласно принципу относительности, уравнение s² = 0, выражающее физический закон распространения света, обязано иметь один и тот же вид во всех ИСО.

Легко убедиться простой подстановкой, что величина s² не сохраняет своего вида при преобразованиях Галилея. Отсюда мы приходим к выводу о необходимости существования иных преобразований координат и времени при переходе от одной ИСО к другой. При этом, учитывая относительный характер одновременности, уже нельзя считать t' = t, т.е. считать время абсолютным, идущим независимо от наблюдателя, и вообще отделить время от пространства, как это можно было сделать в ньютоновской механике.

Преобразования координат и времени события, не меняющие величины интервала s², носят название преобразований Лоренца. Их вывод выходит за рамки школьной программы. Поэтому ограничимся проверкой того, что выписанные ниже преобразования действительно сохраняют величину интервала.

Преобразования Лоренца имеют вид:

(2.1)

Здесь v - скорость движения одной ИСО относительно другой, величина



носит название лоренц-фактора и, как легко видеть, может меняться от 1 до Ґ при изменении скорости v от 0 до c.

Преобразования Лоренца удобно переписать, введя вместо времени t другую величину: x₀ = ct, имеющую размерность длины, и обозначив x = x₁, y = x₂, z = x₃. Тогда, умножая четвертое равенство на c справа и слева и вводя обозначения



получим:

(2.2)

Теперь нетрудно проверить инвариантность интервала, который в новых обозначениях принимает вид:



Имеем:



что и требовалось доказать.

Часы и линейки. Наиболее парадоксальными непосредственными следствиями преобразований Лоренца являются утверждения, что наблюдатели в двух разных ИСО будут получать разные результаты при измерении длины какого-то стержня или интервала времени между двумя событиями, произошедшими в одном месте.

1. Сокращение размеров. Пусть стержень расположен вдоль оси x' системы отсчета К' и покоится в этой системе. Его длина l' = x'₂ - x'₁ фиксируется наблюдателем в этой системе. Переходя в неподвижную систему К, можем записать выражения для координат конца и начала стержня, измеренных в один и тот же момент времени по часам неподвижного наблюдателя:



Отсюда:



Эту формулу обычно записывают в виде:

(2.3)

Так как g > 1, то это означает, что длина стержня l в "неподвижной" системе отсчета оказывается меньше длины этого же стержня l' в движущейся системе (лоренцовское сокращение длины).

2. Замедление темпа хода времени. Пусть два события происходят в одном и том же месте в системе К' и интервал времени между этими событиями по часам наблюдателя, покоящегося в этой системе, равен Dt = t'₂ - t'₁.

Принято называть время t, измеренное по часам покоящегося наблюдателя, собственным временем. Мы хотим найти связь между собственным временем и временем, измеренным по часам движущегося наблюдателя. Так как



где x' - неизменная пространственная координата события, то, вычитая одно равенство из другого, находим:

(2.4)

Из этой формулы следует, что часы в системе К показывают больший интервал времени между двумя событиями, чем часы в системе К', движущейся относительно К. Иными словами, интервал собственного времени, который показывают часы, движущиеся вместе с наблюдателем, всегда меньше интервала времени, который показывают часы неподвижного наблюдателя.

Сложение скоростей. Запишем преобразования Лоренца для изменения координат тела Dx, Dy, Dz за промежуток времени Dt. Имеем:

(2.5)

Здесь V - направленная вдоль оси x скорость движения одной системы относительно другой.

Скорость тела в лабораторной системе v = Dr/Dt, а скорость этого же тела в системе, движущейся вдоль оси x со скоростью V относительно лабораторной системы, равна v' = Dr'/Dt'. Поэтому

(2.6)

В предельном случае, когда все скорости много меньше скорости света, V << c и v' << c (нерелятивистский случай), можно пренебречь в знаменателе вторым слагаемым. Тогда приходим к закону сложения скоростей классической механики: v = v' + V.

В противоположном, релятивистском случае (скорости близки к скорости света) легко убедиться, что, вопреки наивному представлению, при сложении скоростей невозможно получить скорость, превышающую скорость света в вакууме. Пусть, например, все скорости направлены вдоль оси x и v' = c, тогда видно, что и v = c.

Соотношение Эйнштейна. Главной прикладной формулой ЧТО является установленное А. Эйнштейном соотношение между энергией E, импульсом p и массой m свободно движущейся частицы:



Эта формула заменяет ньютоновскую формулу, связывающую кинетическую энергию с импульсом:



Из нее следует, что при p = 0

(2.7)

Смысл этой знаменитой формулы в том, что массивная частица в сопутствующей системе отсчета (т.е. в ИСО, движущейся вместе с частицей, так что относительно нее частица покоится) обладает определенной энергией покоя Е₀, однозначно связанной с массой этой частицы.