Учебник по Физике.

Оглавление учебника

Колебательный контур. Активное сопротивление в контуре.

Колебательный LC-контур. Пусть цепь содержит только емкость C и индуктивность L. На самом деле всегда существует отличное от нуля активное сопротивление R проводов и катушки индуктивности. Однако для лучшего понимания протекающих в контуре процессов можно пренебречь активным сопротивлением и рассмотреть идеализированную модельную ситуацию.

Внешний источник заряжает конденсатор, после чего отключается. В LC-контуре возникает ток из-за разрядки конденсатора. Таким образом, в произвольный момент времени в контуре имеются переменные заряд q(t) и ток I(t).

Пусть в начальный момент времени t = 0 верхняя пластина конденсатора заряжена положительно. Ток и заряд связаны соотношением I = ± dq/dt. Выбор знака в этой формуле связан с выбором направления тока. Пусть ток направлен по часовой стрелке, тогда заряд q на пластине увеличивается, когда ток положителен, т.е. I = dq/dt.

По первому правилу Кирхгофа сумма падений напряжений на каждом элементе замкнутого контура 1-2-3-4-1 равна нулю:



Падение напряжения на индуктивности равно



Знак в этом выражении определяется правилом Ленца: ЭДС индукции противодействует вызвавшей ее причине, т.е. если ток нарастает, dI/dt > 0, то j2 > j1. С учетом принятого соглашения о знаках заряда на пластинах конденсатора,



Поэтому уравнение для тока в LC-контуре принимает вид:



Так как I = dq/dt, то, подставляя в уравнение, получим dI/dt = d²q/dt², так что окончательно

(19.1)

Это уравнение описывает изменение со временем величины заряда на обкладках конденсатора.

Решение уравнения колебаний. Прямой проверкой можно убедиться, что решением уравнения для заряда в LC-контуре будет

(19.2)

где q_m - максимальный заряд на пластине конденсатора, w - круговая частота колебаний, j - начальная фаза.

Дифференцируя выражение для q(t), можно получить выражение для тока в цепи:



Таким образом, в LC-контуре происходят гармонические колебания тока в цепи и заряда на обкладках конденсатора с частотой

(19.3)

Трансформация энергии в колебательном контуре. Полная энергия в колебательном контуре в любой момент времени складывается из энергии, запасенной в конденсаторе (электрическая энергия), и энергии магнитного поля, связанной с током в катушке индуктивности.



Полная энергия не меняется со временем, что проверяется прямой подстановкой значений q(t) и I(t),

(19.4)

LCR-контур. Если учесть активное сопротивление, то уравнение, вытекающее из правила Кирхгофа, примет вид:



После подстановки I = dq/dt получается уравнение для изменения заряда со временем, аналогичное уравнению колебаний механической системы с учетом сил трения:



Можно убедиться, что решение этого уравнения имеет вид:

(19.5)

где





Затухание в контуре определяется соотношением параметров w₀ и 1/t. Если w₀>>1/t, можно считать затухание слабым. Энергия в колебательном контуре постепенно переходит в теплоту.