Учебник по Тригонометрии.

Оглавление учебника

ТРИГОНОМЕТРИЯ

10. Решение простейшего тригонометрического уравнения sin x = a

Проведем исследование решения уравнения sin x = a в зависимости от а:

при | a | > 1 нет действительных решений, так как E[sin] - [-1, 1];

при | a | Ј 1 сформулируем определение arcsin a:

Выше в Главе 7 дано геометрическое обоснование единственности решения данного уравнения на отрезках [-p/2, p/2] и [p/2, 3p/2], соответственно

x = arcsin a и x = p - arcsin a

(последнее равенство вытекает и на основе формулы sin (p -a ) = sin a).

Отсюда, а также в силу периодичности функции у = sin х с периодами 2pn (n = ± 1, ± 2, …) и утверждения 1, доказанного выше, вытекает, что

совокупность всех решений уравнения sin x = a есть

(при k = 2n - I серия , k = 2n + 1 - II серия).

В частных случаях, при а = 0, а = 1, а = -1 формулы решений упрощаются и соответственно имеют вид