Учебник по Геометрии.

Оглавление учебника

ГЕОМЕТРИЯ: Стереометрия

20. Цилиндр и конус

Поверхность вращения.

Поверхностью вращения называется поверхность, которая получается при вращении какой-нибудь линии, называющейся образующей, вокруг неподвижной прямой, называющейся осью; при этом предполагается, что образующая при своём вращении неизменно связана с осью.

Всякая секущая плоскость, проходящая через ось, называется меридиональной плоскостью, а пересечение её с поверхностью вращения - меридианом.

Цилиндр.

Цилиндрической поверхностью, называется поверхность, производимая движением прямой ( образующей ) , перемещающейся в пространстве параллельно данному направлению и пересекающей при этом данную линию ( направляющую ).

Цилиндром называется тело, ограниченное замкнутой цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями. Часть цилиндрической поверхности, заключённая между плоскостями, называется боковой поверхностью, а части плоскостей, отсекаемые этой поверхностью, - основаниями цилиндра. Расстояние между основаниями есть высота цилиндра. Цилиндр называется прямым или наклонным, смотря по тому, будут ли его образующие перпендикулярны или наклонны к основаниям.

Прямой цилиндр называется круговым, если его основания - круги. В элементарной геометрии рассматривается только прямой круговой цилиндр; для краткости его называют просто цилиндром.

Иногда приходится рассматривать такие призмы, основания которых суть многоугольники, вписанные в основания цилиндра или описанные около них; такие призмы называются вписанными в цилиндр или описанными около него.

Конус.

Конической поверхностью, называется поверхность, производимая движением прямой ( образующей ) , перемещающейся в пространстве так, что она при этом постоянно проходит через неподвижную точку ( вершину ) и пересекает данную линию ( направляющую ).

Конусом называется тело, ограниченное замкнутой конической поверхностью и плоскостью, пересекающей все образующие по одну сторону от вершины. Часть конической поверхности, ограниченная этой плоскостью, называется боковой поверхностью, а часть плоскости, отсекаемая этой поверхностью, - основанием конуса. Перпендикуляр, опущенный из вершины на основание, есть высота конуса.

Конус называется прямым круговым, если его основание - круг, а высота проходит через центр основания. В элементарной геометрии рассматривается только прямой круговой конус; для краткости его называют просто конусом.

Усечённым конусом называется часть полного конуса, заключённая между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Поверхность цилиндра и конуса.

За величину боковой поверхности цилиндра принимается предел, к которому стремится боковая поверхность вписанной в этот цилиндр правильной призмы, когда число её боковых граней неограниченно удваивается.

За величину боковой поверхности конуса принимается предел, к которому стремится боковая поверхность вписанной в этот конус правильной пирамиды, когда число её боковых граней неограниченно удваивается.

Теорема: Боковая поверхность цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.

Теорема: Боковая поверхность конуса равна произведению длины окружности основания на половину образующей.

Теорема: Боковая поверхность усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.

Объёмы цилиндра и конуса.

За величину объёма цилиндра принимается предел, к которому стремится объём вписанной в этот цилиндр правильной призмы, когда число её боковых граней неограниченно удваивается.

За величину объёма конуса принимается предел, к которому стремится объём вписанной в этот конус правильной пирамиды, когда число её боковых граней неограниченно удваивается.

Теорема: Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Теорема: Объём конуса равен произведению площади основания на треть высоты.

Подобные цилиндры и конусы.

Два цилиндра или конуса называются подобными, если они образуются при вращении подобных прямоугольников или треугольников вокруг сходственных сторон.

Теорема: Боковые и полные поверхности подобных цилиндров или конусов относятся как квадраты радиусов или высот, а объёмы - как кубы радиусов или высот.