Многогранник.
Мы будем рассматривать только выпуклые многогранники, т.е. такие, которые расположены по одну сторону от каждой своей грани.
Призма.
Призмой называется многогранник, у которого две грани - равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а все остальные грани - параллелограммы.Многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы; перпендикуляр, опущенный из какой-нибудь точки одного основания на другое, называется высотой призмы. Параллелограммы называются боковыми гранями призмы, а их стороны, соединяющие соответственные вершины оснований, - боковыми рёбрами. У призмы все боковые рёбра равны, как отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями. |
Призма называется прямой или наклонной, смотря по тому, будут ли её боковые рёбра перпендикулярны или наклонны к основаниям.
Прямая призма называется правильной, если её основания - правильные многоугольники.
Параллелепипед.
Параллелепипеды могут быть прямые и наклонные. Прямой параллелепипед называется прямоугольным, если его основания - прямоугольники.
Три ребра прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, называются его измерениями.
Прямоугольный параллелепипед, имеющий равные измерения, называется кубом
.Свойства граней и диагоналей параллелепипеда.
Теорема: В параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны.
Теорема: В параллелепипеде все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
Теорема: В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений.
Пирамида.
Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань, называемая основанием, есть какой-нибудь многоугольник, а все остальные грани, называемые боковыми, - треугольники, имеющие общую вершину.Общая вершина боковых треугольников называется вершиной пирамиды, а перпендикуляр, опущенный из вершины на основание, - высотой её. |
Пирамиды бывают треугольные, четырёхугольные и т.д., смотря по тому, лежит ли в основании треугольник, четырёхугольник и т.д. Треугольная пирамида называется тетраэдром; у такой вершины все четыре грани - треугольники.
Пирамида называется правильной, если, во-первых, её основание есть правильный многоугольник и, во-вторых, высота проходит через центр этого многоугольника. В правильной пирамиде все боковые рёбра равны между собой. Поэтому все боковые грани правильной пирамиды - равные равнобедренные треугольники. Высота какого-либо одного из этих треугольников называется апофемой
.Отрезок пирамиды, заключённый между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию, называется усечённой пирамидой. Параллельные многоугольники называются основаниями, а расстояние между ними - высотой. Усечённая пирамида называется правильной, если она составляет отрезок правильной пирамиды.
Свойства параллельных сечений в пирамиде.
Теоремы: Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то:
1) боковые рёбра делятся этой плоскостью на пропорциональные части;
2) в сечении получается многоугольник, подобный основанию;
3) площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины.
Теорема: Если две пирамиды с равными высотами рассечены на одинаковом расстоянии от вершины плоскостями, параллельными основаниям, то площади сечений пропорциональны площадям оснований.
Боковая поверхность призмы и пирамиды.
Теорема: Боковая поверхность призмы равна произведению перпендикулярного сечения на боковое ребро.
Следствие: Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту.
Теорема: Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению периметра основания на половину апофемы.
Теорема: Боковая поверхность правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров обоих оснований на апофему.
Объём призмы и пирамиды.
За единицу объёмов берут объём такого куба, у которого каждое ребро равно линейной единице.
Теорема: Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.
Теорема: Объём параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
Теорема: Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.
Теорема: Объём пирамиды равен произведению площади основания на треть высоты.
Подобие многогранников.
Теорема: Поверхности подобных многогранников относятся как квадраты сходственных рёбер.
Теорема: Объёмы подобных многогранников относятся как кубы сходственных рёбер.