Учебник по Геометрии.

Оглавление учебника

ГЕОМЕТРИЯ: Планиметрия

13. Измерение площадей

Площади многоугольников. Величина части плоскости, заключенной внутри многоугольника или какой-нибудь другой плоской замкнутой фигуры, называется площадью этой фигуры. Относительно этой величины делаются следующие допущения:

1. Равные фигуры имеют равные площади независимо от их положения в пространстве.

2. Площадь какой-нибудь фигуры, состоящей из нескольких частей, принимается за сумму площадей этих частей.

Фигуры, имеющие одинаковые площади, называются равновеликими.

Условимся одну из сторон треугольника или параллелограмма называть основанием этих фигур, а перпендикуляр, опущенный на эту сторону из вершины треугольника или из какой-нибудь точки противоположной стороны параллелограмма, будем называть высотой. Основание и высота прямоугольника называются его измерениями.

Теорема. Площадь прямоугольника равна произведению основания на высоту.

Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

Доказательство. На основании AD построим прямоугольник AEFD, у которого сторона EF составляет продолжение стороны ВС. Докажем, что площадь AEFD равна площади AВСD.

Если параллелограмм дополним треугольником АЕВ, а прямоугольник дополним треугольником DFC ,то мы получим одну и ту же трапецию AECD. Так как дополняющие треугольники равны (имея по две стороны и углу, заключённому между ними, соответственно равными), то параллелограмм и прямоугольник равновелики. Следовательно, теорема доказана.

Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Следствия. 1. Треугольники с равными основаниями и высотами равновелики.

2. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

3. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

4. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Теорема. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Теорема. Площадь всякого описанного многоугольника равна произведению периметра на половину радиуса.

Отношение площадей подобных фигур. Теорема. Площади двух треугольников, имеющих по равному углу, относятся как произведения сторон, заключающих эти углы.

Теорема. Площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

Следствие. Площади правильных одноимённых многоугольников относятся как квадраты сторон, или квадраты радиусов, или квадраты апофем.

Площадь круга. Площадь круга равна половине произведения длины окружности на радиус, т.е. площадь круга равна квадрату радиуса, умноженному на отношение длины окружности к диаметру.

.

Теорема. Площадь сектора равна произведению его дуги на половину радиуса.

.