Учебник по Геометрии.

Оглавление учебника

ГЕОМЕТРИЯ: Планиметрия

10. Теоремы о пропорциональных линиях

Теорема. Стороны угла пересекаются рядом параллельных прямых, рассекаются ими на пропорциональные части.

Доказательство. Требуется доказать, что .

Проведя вспомогательные прямые DM,EN,... параллельные ВА, мы получим треугольники, которые подобны между собой, так как углы у них соответственно равны ( вследствие параллельности прямых ). Из их подобия следует:

Заменив в этом ряду равных отношений отрезок DM на D'E' , отрезок EN на E'F' (противоположные стороны параллелограмма) , мы получим то, что требовалось доказать.

Теорема. Биссектриса любого угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Обратная теорема. Если какая-нибудь сторона треугольника разделена на две части, пропорциональные двум прилежащим сторонам этого треугольника, то прямая, соединяющая точку деления с вершиной противолежащего угла, есть биссектриса этого угла.

Теорема. Если биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противоположной стороны в некоторой точке, то расстояния от этой точки до концов продолженной стороны пропорциональны прилежащим сторонам треугольника.

Числовые зависимости между элементами треугольника.

Теорема. В прямоугольном треугольнике перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, есть средняя пропорциональная между отрезками гипотенузы, а каждый катет есть средняя пропорциональная между гипотенузой и прилежащим к этому катету отрезком.

 Доказательство. Требуется доказать следующие три пропорции: 1) BD:AD=AD:DC, 2) BC:AB=AB:DB, 3) BC:AC=AC:DC.

1) Треугольники ABD и ADC подобны, так как Р1=Р 4 и Р2=Р3 (так как их стороны перпендикулярны), следовательно BD:AD=AD:DC.

2) Треугольники ABD и AВC подобны, так как они прямоугольные и угол В у них общий, следовательно BC:AB=AB:DB.

3) Треугольники ABС и ADC подобны, так как они прямоугольные и угол С у них общий, следовательно BC:AC=AC:DC.

Следствие. Перпендикуляр, опущенный из какой-нибудь точки окружности на диаметр, есть средняя пропорциональная между отрезками диаметра, а хорда, соединяющая эту точку с концом диаметра, есть средняя пропорциональная между диаметром и прилежащим к хорде отрезком его.

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Следствие. Квадраты катетов относятся между собой как прилежащие отрезки гипотенузы.

Теорема. Во всяком треугольнике квадрат стороны, лежащей против острого угла, равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения какой-нибудь из этих сторон на отрезок её от вершины острого угла до высоты.

Теорема. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Пропорциональные линии в круге. Теорема. Если через точку, взятую внутри круга, проведены какая-нибудь хорда и диаметр, то произведение отрезков хорды равно произведению отрезков диаметра.

Следствие. Если через точку, взятую внутри круга, проведено сколько угодно хорд, то произведение отрезков каждой хорды есть число постоянное для всех хорд.

Теорема. Если из точки, взятой вне круга, проведены к нему какая-нибудь секущая и касательная, то произведение секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной .