Учебник по Геометрии.

Оглавление учебника

ГЕОМЕТРИЯ: Планиметрия

6. Параллелограммы и трапеции

Параллелограмм. Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны называется параллелограммом.

Во всяком параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Доказательство. Проведя диагональ BD, мы получим два треугольника ABC и BCD, которые равны, так как у них BD - общая сторона, Р1=Р 4 и Р2=Р 3 (как накрест лежащие при параллельных прямых). Из равенства треугольников следует равенство противоположных сторон и углов.

Два признака параллелограммов. Если в четырёхугольнике: 1) противоположные стороны равны или 2) две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник есть параллелограмм.

Свойство диагоналей параллелограмма. В параллелограмме диагонали точкой пере сечения делятся пополам.

Прямоугольник и его свойство. Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником. Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма и имеет ещё дополнительное свойство.

В прямоугольнике диагонали равны.

Доказательство. Прямоугольные треугольники ACD и ABD равны, потому что у них AD - общий катет, и AB=CD (как противоположные стороны параллелограмма). Из равенства треугольников следует AC=BD.

Ромб. Параллелограмм, у которого все стороны равны называется ромбом.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят углы ромба пополам.

Некоторые теоремы, основанные на свойствах параллелограмма.

Теорема. Если на одной стороне угла отложить равные между собой отрезки и через их концы провести параллельные прямые до пересечения с другой стороной, то и на этой стороне отложатся равные между собой отрезки.

Доказательство. Проведём вспомогательные прямые DK и EL , параллельные АВ. Полученные при этом треугольники DKE и ELF равны, так как у них DE=EF (по условию), РKDE=РLEF и РKED=РLFE (как углы соответственные при параллельных прямых). Из равенства треугольников следует DK=EL . Но DK=MN и EL=NP (как противоположные стороны параллелограммов) значит, MN=NP.

Следствие. Прямая, проведённая через середину стороны треугольника параллельно другой его стороне, делит третью сторону пополам.

Теорема. Отрезок прямой, соединяющий середины двух сторон треугольника параллелен третьей его стороне и равен её половине.

Трапеция и свойство её средней линии. Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны, называется трапецией. Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, непараллельные - боками. Отрезок, соединяющий середины боков трапеции, называется её средней линией. Линия эта обладает следующим свойством: средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна полусумме их.

Доказательство. Через точки B и F проведём прямую до пересечения с продолжением стороны AD в некоторой точке G . Тогда получим два треугольника BCF и DFG , которые равны, так как у них CF=FD (по условию) , РBFC=РDFG (как углы вертикальные) и РBCF=РFDG (как углы накрест лежащие при параллельных). Из равенства треугольников следует BF=FG и BC=DG . Теперь видим, что в треугольнике ABG прямая EF соединяет середины двух сторон, значит EF||AG и EF=(AD+DG)/2 , другими словами EF||AD и EF=(AD+BC)/2.