Учебник по Геометрии.

Оглавление учебника

ГЕОМЕТРИЯ: Планиметрия

5. Параллельные прямые

Две прямые называются параллельными, если, находясь в одной плоскости, они не пересекаются .

Параллельность прямых обозначается знаком || (например AB||CD).

Теорема. Два перпендикуляра к одной и той же прямой параллельны.

Доказательство: Если бы перпендикуляры пересеклись в какой-нибудь точке, то тогда из этой точки на прямую были бы опущены два перпендикуляра, что невозможно.

Названия углов, получаемых при пересечении двух прямых третьей

Соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

Накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6 (внутренние), 1 и 7, 2 и 8 (внешние).

Односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6 (внутренние), 1 и 8, 2 и 7 (внешние).

Признаки параллельности.

Если при пересечении двух прямых третьей прямой:

какие-нибудь соответственные углы равны,

или какие-нибудь накрест лежащие углы равны,

или сумма двух каких-нибудь двух внутренних или двух внешних односторонних углов равна 180 градусов,

то две прямые параллельны.

Аксиома параллельных линий. Через одну и ту же точку нельзя провести двух различных прямых, параллельных одной и той же прямой.

Следствие 1. Если прямая пересекается с одной из параллельных прямых, то она пересекается и с другой.

Следствие 2. Две прямые, параллельные третьей - параллельны.

Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами.

Теорема. Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют два прямых.

Теорема. Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют два прямых.

Сумма углов треугольника и многоугольника.

Теорема. Сумма углов треугольника равна двум прямым.

Доказательство. Пусть АВС - треугольник. Продолжим сторону АС и проведя СЕ|| АВ, найдём Р А=Р ЕСО (как углы соответственные при параллельных), Р В=Р ВСЕ ( как углы накрест лежащие при параллельных), следовательно Р А+Р В+Р С=Р ЕСО+Р ВСЕ+Р С=180.

Следствия:

1. Всякий внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов.

2. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то и третьи углы равны.

3. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна прямому углу.

Теорема. Сумма углов n- угольника равна 180*(n-2) градусов.

Теорема. Сумма внешних углов многоугольника равна четырём прямым.