Учебник по Геометрии.

Оглавление учебника

ГЕОМЕТРИЯ: Планиметрия

3. Треугольники и многоугольники

Ломаная линия. Линия называется ломаной, когда она состоит из отрезков, не расположенных на одной прямой. Эти отрезки называются сторонами ломаной, а вершины углов, образуемых соседними отрезками - вершинами ломаной.

Ломаная называется выпуклой, если она вся расположена по одну сторону от каждого составляющего её отрезка. Если концы ломаной сходятся в одну точку, то она называется замкнутой. Ломаная называется простой, если её смежные звенья не лежат на одной прямой, а несмежные не имеют общих точек.

Многоугольник. Фигура, образованная замкнутой ломаной линией, называется многоугольником. Стороны этой ломаной называются сторонами многоугольника, углы, составленные каждыми двумя соседними сторонами - углами многоугольника, а их вершины - вершинами его. Сама ломаная линия, ограничивающая многоугольник, называется контуром его, а сумма длин всех сторон - периметром.

Многоугольник называется выпуклым, если он ограничен выпуклой ломаной линией.

Всякий отрезок, который соединяет вершины двух углов многоугольника, не прилежащих к одной стороне, называется диагональю многоугольника.

Наименьшее число сторон в многоугольнике - три. По числу сторон многоугольник называется треугольником, четырёхугольником и т.д.

Разделение треугольников. Треугольники разделяются по длине их сторон или по величине углов. Относительно длины сторон они бывают разносторонние ( когда все стороны различной длины ), равнобедренные ( когда две стороны одинаковы ) и равносторонние ( все стороны равны).

Относительно величины углов треугольники бывают остроугольные ( все углы острые), прямоугольные (есть прямой угол ) и тупоугольные (есть тупой угол).

В прямоугольном треугольнике стороны, образующие прямой угол называются катетами, а сторона , лежащая против этого угла, - гипотенузой.

Главнейшие линии в треугольнике. Одну из сторон треугольника обычно называют основанием, вершину противоположного угла - вершиной треугольника, а перпендикуляр BD, опущенный из вершины на основание или на его продолжение, - высотой его.

В равнобедренном треугольнике основанием обыкновенно называют ту сторону, которая не принадлежит к равным.

Отрезок BE, соединяющий вершину какого-нибудь угла треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой. Отрезок BF, делящий какой-нибудь угол треугольника пополам называется биссектрисой треугольника.

Признаки равенства треугольников. Две геометрические фигуры, например два треугольника называются равными, если они при наложении могут быть совмещены.

Признаки равенства

1. Если две стороны и угол, заключённый между ними, одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу, заключённому между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны.

2. Если два угла и прилежащая к ним сторона одного треугольника равны соответственно двум углам и прилежащей к ним стороне другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Свойства равнобедренного треугольника.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине есть одновременно и медиана и высота. 

2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство: Пусть BD - биссектриса АВС, тогда по первому признаку равенства треугольников ABD = CBD ( т.к. РABD=Р CBD, AB=CB, сторона BD- общая ), следовательно 1)BD - медиана и высота, 2) углы при основании равны.

Внешний угол треугольника и его свойство. Угол, смежный с каким-нибудь углом треугольника ( или многоугольника называется внешним углом треугольника ( или многоугольника).

Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла треугольника, не смежного с ним.

Следствие 1. Если в треугольнике один угол прямой или тупой, то два другие угла - острые.

Следствие 2. Из данной точки на данную прямую можно опустить только один перпендикуляр.

Соотношения между сторонами  и углами треугольника.

Теоремы. Во всяком треугольнике:

1) против равных сторон лежат равные углы, 2) против большей стороны лежит больший угол.

Обратные теоремы. Во всяком треугольнике:

1) против равных углов лежат равные стороны, 2)против большего угла лежит большая сторона.

Следствия. 1. В равностороннем треугольнике все углы равны.

2. В равноугольном треугольнике все стороны равны.

Сравнительная длина прямой и ломаной.

Теорема. В треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон, но больше их разности.

Следствие. Отрезок прямой, соединяющий две какие-нибудь точки короче всякой ломаной, проведённой между этими точками.