Используемые обозначения.
- множество;
ОДЗ - область допустимых значений;
- множество, состоящее из одного элемента a;
- пересечение, - объединение, - пустое множество;
- знак принадлежности, - "не принадлежит";
- знак включения, - знак "содержит";
- "любой", "для любого"; - "существует",
- "не существует", $ ! - "существует единственный";
: - "такой что";
- следует, "имеет место тогда и только тогда";
- область определения функции ;
- область значений функции ;
- знак взаимнооднозначного соответствия;
- "меньше или равно", і - "больше или равно",
№
- "не равно", ± - первое "+", второе "-";- натуральные числа,
;
- целые числа;
- рациональные числа;
- деление нацело: пусть
если ,
Н.О.Д.(m,n) - наибольший общий делитель чисел m и n, где m, n
О N;Н.О.K.(m,n) - наименьшее общее кратное чисел m и n, где m, n
О N;" " - пересечение, система (и),
" " - объединение, совокупность (или);
S - сумма, П - произведение,
- модуль или абсолютная величина действительного числа.
- совокупность элементов x из множества {X} , для которых выполнено свойство P(x)
Числовые промежутки.
или полусегменты, или полуинтервалы; 4) - интервал;
5), 7) - замкнутые лучи или замкнутые полупрямые;
6), 8) - открытые лучи или открытые полупрямые;
5) - 9) - бесконечные или неограниченные числовые промежутки.
План исследования свойств функции
y = f(x).I. Область определения.
II. Область изменения функции.
III. Наибольшее и наименьшее значение функции, если они существуют.
IV. Четность и нечетность функции.
V. Периодичность функции.
VI. Нули функции, промежутки знакопостоянства функции.
VII. Участки монотонности функции.
VII I. График функции. Точки пересечения графика функции с осями координат, если они есть. Для некоторых функций нужно исследовать и поведение функции на границах области определения.
Определения.
Пусть заданы два непустых множества
{X} и {Y} . Если каждому числу х О {X} ставится в соответствие (по некоторому закону f ) единственное число у О {Y} (символическое обозначение ), то говорят, что на множестве {X} задана функция у = f(x). {X} называется областью определения функции у = f(x), обозначается D[f]; x - аргумент функции.Множество {Y} таких чисел у, для которых существует х О {X} , что у = f(x) называется областью изменений или областью значений функции у = f(x), обозначается Е[f]; у = y(x) = f(x) значение функции, отвечающее значению аргумента х.
Число называется наибольшим
( наименьшим) значением функции у = f(x) на множестве {X} ({X} Н D[f ]), если1) " х О {X} ,
2) О {X} : ,
обозначается
, .Пусть область определения
D[f] ={X} функции f(x) такова, что она симметрична относительно точки , то есть " х О {X} Ю " -х О {X} . Функция у = f(x) называется четной ( нечетной), если " х О D[f] f(-x) = f(x) (f(-x) = -f(x)).Функция у = f(x) называется периодической, если существует Т
№ 0, удовлетворяющее условиям1) " х О D[f] Ю х± Т О D[f],
2) " х О D[f] f(x+Т) = f(x).
Число Т называется периодом функции у = f(x). Из этого определения легко вывести: если Т - период функции, то -Т тоже период функции, так как в силу периодичности
f(x-Т) = f((x-Т)+Т) = f(x), то есть f(x-Т) = f(x)
;для любого т
О Z, т № 0, устанавливается, что тТ - также период этой функции.Наименьшее Т > 0 - период функции у = f(x) называется основным периодом этой функции.
Число
О D[f ] называется нулем функции у = f(x), если .Промежуток
{X'}Н D[f ] называется промежутком знакопостоянства функции у = f(x), если либо " х О {X'} f(x) > 0, либо " х О {X'} f(x) < 0.Функция у = f(x) называется возрастающей
( убывающей) на множестве {X} ({X} Н D[f ]), если для любых О {X} таких, что вытекает .Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными
.Если выполняются неравенства , то функция называется неубывающей
( невозрастающей).Неубывающие и невозрастающие функции называются монотонными
.Графиком
функции у = f(x) называется множество точек на координатной плоскости с координатами (х; f(x) ), где х - произвольное из области определения D[f].Символическое обозначение графика функции у = f(x)
:- {(x;y): x О D[f], у = f(x)}
Если , где
О D[f ], то точка с координатами - точка пересечения графика функции у = f(x) с осью Оx ; если 0 О D[f ], то точка с координатами (0; f (0)) - точка пересечения графика функции у = f(x) с осью Оy.