Учебник по Математике и Алгебре.

Оглавление учебника

АЛГЕБРА: Уравнения и сиcтемы уравнений

4.5. Системы уравнений

Уравнения с двумя переменными.

Рассмотрим уравнение с двумя переменными f(x; y) = 0. Пара значений переменных, обращающая уравнение с двумя переменными в верное равенство, называется решением уравнения. Для отыскания решений удобно выражать одну переменную через другую.

Уравнения с двумя переменными называются равносильными, если они имеют одни и те же корни. Для уравнений с двумя переменными справедливы теоремы о равносильных преобразованиях, приведенные для уравнений с одной переменной.

Системы двух уравнений с двумя переменными. Равносильные системы.

Пусть даны два уравнения с двумя переменными f(x; y) = 0 и g(x; y) = 0. Если ставится задача найти все общие решения этих уравнений, то говорят, что надо решить систему уравнений.Каждая пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство, называется решением системы уравнений. Решить систему - значит найти все ее решения или доказать, что их нет.

Две системы уравнений называются равносильными, если эти системы имеют одни и те же решения.

Теорема 6.

Пусть дана система двух уравнений с двумя неизвестными. Если одно уравнение системы оставить без изменений, а другое уравнение системы заменить уравнением, ему равносильным, то полученная система будет равносильна заданной.

Следствие.

Если каждое уравнение системы заменить равносильным уравнением, то получится система, равносильная данной.

Теорема 7.

Пусть дана система двух уравнений с двумя неизвестными. Если одно уравнение системы оставить без изменений, а другое уравнение системы заменить суммой или разностью обоих уравнений, то полученная система будет равносильна заданной.

Методы решения систем двух уравнений с двумя переменными.

1. Метод подстановки заключается в следующем:

1. Одно из уравнений системы преобразуем к виду, в котором y выражено через х (или х через y).
2. Полученное выражение подставляем вместо у (или х) во второе уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной.
3. Находим корни этого уравнения.
4. Воспользовавшись выражением у через х (или х через у), находим соответствующие значения х (или у).

1. Метод сложения основан на теоремах 6 и 7. Суть поясним на примере.

   П р и м е р: Решить систему уравнений

   .

   Р е ш е н и е. Умножим обе части второго уравнения на 3, получаем систему

   

   и сложим эти уравнения:

   Ы

   

   О т в е т: (5; -1).

2. Метод введения новых переменных применяется при решении систем двух уравнений с двумя переменными одним из следующих способов: 1) вводится одна новая переменная только для одного уравнения системы; 2) вводятся две новые переменные сразу для обоих уравнений.

Системы трех уравнений с тремя переменными.

Рассмотрим систему трех уравнений с тремя переменными

Решением такой системы называется всякая тройка чисел, удовлетворяющая каждому уравнению системы.

Для систем трех уравнений с тремя переменными применяются методы решения, аналогичные тем, что используются для систем двух уравнений с двумя переменными.