Учебник по Математике и Алгебре.

Оглавление учебника

АЛГЕБРА: Уравнения и сиcтемы уравнений

4.4. Показательные и логарифмические уравнения.

Показательное уравнение.

Простейшее показательное уравнение имеет вид , а > 0, a № 1, b > 0 и решается логарифмированием: .

Показательное уравнение вида

,

при а > 0, a № 1 равносильно уравнению f(x) = g(x).

Имеются два основных метода решения показательных уравнений: 1) метод уравнивания показателей, т. е. преобразование заданного уравнения к виду , а затем к f(x) = g(x) ; 2) метод введения новой переменной.

П р и м е р: Решить уравнение .

Р е ш е н и е. . Применим метод введения новой переменной: . Получим квадратное уравнение с корнями . Теперь задача свелась к совокупности: Û .

О т в е т: x = 2.

Логарифмические уравнения.

Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид:

, при а > 0, a № 1.

Чтобы решить уравнение , нужно:

1. решить уравнение ;
2. из найденных корней выбрать те, которые удовлетворяют неравенствам f(x) > 0, g(x) > 0; остальные корни нам не подходят.

Имеются два основных метода решения логарифмических уравнений: 1) метод, заключающийся в преобразовании уравнения к виду , а затем к f(x) = g(x) ; 2) метод введения новой переменной.

П р и м е р: Решить уравнение .

Р е ш е н и е. Воспользуемся свойством суммы логарифмов:

откуда (x+4)(2x+3)=1-2x.

Из последнего уравнения находим .

Осталось сделать проверку.

.

Подставив найденные значение в эти неравенства получаем, что -1 удовлетворяет всем неравенствам, а -5,5 нет.

О т в е т: х = -1.

Пример решения показательно-логарифмических уравнений.

П р и м е р: Решить уравнение .

Р е ш е н и е. Воспользуемся определением логарифма:

.

Полагая , получаем уравнение: , корни которого .Теперь задача сводится к решению совокупности: , . Так как , то первое уравнение не имеет решений. Прологарифмировав обе части второго уравнения по основанию 5, получаем:

, т. е. ,

откуда находим - корни заданного уравнения.