Учебник по Математике и Алгебре.

Оглавление учебника

АЛГЕБРА: Уравнения и сиcтемы уравнений

4.3. Логарифмы. Свойства логарифмов

Понятие логарифма.

Число ( логарифм числа b по основанию числа а), если и 0 < a ¹ 1, b > 0.

Существование этого числа принимается без доказательства, единственность следует из строгой монотонности функции при а > 0, a ¹ 1 , доказанной ниже.

В силу того, что, в частности, при любом действительном а таком, что 0 < a ¹ 1 , из определения логарифма вытекает

" а Î R : 0 < a ¹ 1 , .

Свойства логарифмов.

1. Основное логарифмическое тождество:

(при 0 < a ¹ 1, b > 0);

2. , 0 < a ¹ 1, b > 0, с > 0;

3. , 0 < a ¹ 1, b > 0, с > 0;

4. , 0 < a ¹ 1, b > 0, a Î R;

(2. - 4. - логарифмы произведения, частного, степени)

5. формула перехода к другому основанию:

, в частности при c = b

0 < a ¹ 1, 0 < с ¹ 1, b > 0.

Доказательства:

1. Þ следует их определения логарифма;

Свойства 2. - 4. Доказываются на основе основного логарифмического тождества 1. , утверждения о том, что при любом действительном а > 0, a ¹ 1

Û х = y,

вытекающем из свойства монотонности показательной функции, доказанной ниже, и свойств степеней

справедливых для любых a и b Î R

( в школьном курсе не доказывается), следующем образом:

Свойство 5. Вытекает из свойств 1. и 4. следующим образом

Пусть b < 0, с < 0 , тогда

2'. ;

3'. ;

если в 4. a =2k - четное, то

4'. , 0 < a ¹ 1, b > 0.

Почему в определении 0 < a ¹ 1, b > 0 ?

(так как " a Î R определено лишь для а > 0 и > 0, не определен при b ¹ 1, - любое действительное число).