Учебник по Математике и Алгебре.

Оглавление учебника

АЛГЕБРА: Уравнения и сиcтемы уравнений

4.2. Виды уравнений и способы их решений

В случае, когда нужно найти значения переменной, удовлетворяющие обоим заданным уравнениям, говорят, что задана, система уравнений. Для обозначения системы используется фигурная скобка:

Несколько уравнений с одной переменной образуют совокупность уравнений, если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является корнем хотя бы одного из данных уравнений. Для обозначения совокупности используется квадратная скобка:

Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.

Модуль числа а определяется следующим образом:

П р и м е р: Решить уравнение .

Р е ш е н и е. Если , то и данное уравнение примет вид . Можно записать так:

Из уравнения находим х = -9. Однако при этом значении переменной неравенство не выполняется, значит найденное значение не является корнем данного уравнения.

Если , то и данное уравнение примет вид . Можно записать так:

Из уравнения находим . Неравенство верно, значит, - корень данного уравнения.

О т в е т: .

Уравнения с переменной в знаменателе.

Рассмотрим уравнения вида . (1)

Решение уравнения вида (1) основано на следующем утверждении: дробь равна 0 тогда и только тогда, когда ее числитель равен 0, а знаменатель отличен от нуля.

В соответствии со сказанным решение уравнения проводится в два этапа: сначала нужно решить уравнение , а затем выяснить, обращается ли при найденных значениях переменной х знаменатель в 0. Если q(x) ¹ 0 , то найденный корень уравнения является и корнем уравнения (1); если q(x) = 0 , то полученный корень уравнения является и корнем уравнения (1). Получается система:

Областью определения уравнения f(x) = g(x) называют множество всех тех значений переменной х, при которых и выражение f(x) , и выражение g(x) имеют смысл.

Если в процессе преобразований уравнения его область определения расширилась, то могут появиться посторонние корни. Поэтому все найденные значения переменной надо проверить подстановкой в исходное уравнение или с помощью области определения исходного уравнения.

Рациональные уравнения.

Уравнение f(x) = g(x) называется рациональным, если f(x) и g(x) -рациональные выражения. При этом если f(x) и g(x) - целые выражения, то уравнение называют целым; если же хотя бы одно из выражений f(x), g(x) является дробным, то рациональное уравнение f(x) = g(x) называется дробным.

Чтобы решить рациональное уравнение, нужно:

1. найти общий знаменатель всех имеющихся дробей;
2. заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;
3. Решить полученное целое уравнение;
4. Исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.

Решение уравнения p(x) = 0 методом разложения на множители.

Если p(x) удается разложить на множители: , тогда уравнение принимает вид . Если а - корень уравнения , то , следовательно хотя бы одно из чисел равно 0.

Верно и обратное: если х = а - корень хотя бы одного из уравнений , , , то а - корень уравнения . Т. е.

Û

Решение уравнений методом введения новой переменной.

Суть метода поясним на примере.

П р и м е р: Решить уравнение .

Р е ш е н и е. Положим , получим уравнение , откуда находим . Задача сводится к решению совокупности уравнений

Û

Первое квадратное уравнение не имеет действительных корней, так его дискриминант отрицателен. Из второго находим . Это корни заданного уравнения.

Биквадратным называется уравнение вида , где а ¹ 0. Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив , придем к квадратному уравнению .

Иррациональные уравнения.

Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня или под знаком возведения в дробную степень. Одним из методов решения таких уравнений является метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень:

А) преобразуем заданное иррациональное уравнение к виду:

;

Б) возводим обе части полученного уравнения в n - ую степень:

;

В) учитывая, что , получаем уравнение

f(x) = g(x);

Г) решаем уравнение и делаем проверку, так как возведение обеих частей уравнения в четную степень может привести к появлению посторонних корней. Эта проверка осуществляется с помощью подстановки найденных значений переменной в исходное уравнение.