Учебник по Математике и Алгебре.

Оглавление учебника

АЛГЕБРА: Последовательности

7.3. Метод математической индукции

Формулировка метода математической индукции.

Пусть имеется некоторое утверждение Q(n ), сформулированное применительно к натуральному (или целому) числу n . Пусть это утверждение верно для числа n = 1 (или n = n₀, n₀ О Z ) и каково бы ни было натуральное число k (целое k і n₀ ), предполагая справедливость утверждения Q(n ) для n = k , можно доказать справедливость Q(n ) для n = k + 1. Тогда Q(n ) справедливо для любого натурального числа n (любого целого числа n і n₀).

Для доказательства справедливости некоторого утверждения Q(n ) методом математической индукции необходимо:

1. Проверить справедливость Q(n ) для n = 1 (n = n₀ ) - базис индукции;
2. Предположить справедливость утверждения Q(n ) для некоторого произвольного целого числа k і 1 (k і n₀);
3. На основе этого предположения и 1) доказать справедливость Q(n ) для числа n = k + 1 - индукционный шаг.

Вывод формул общего члена арифметической и геометрической прогрессии методом математической индукции.

"n О N a_n = a₁ + d(n -1) ; "n О N, n і 2 b_n = b₁ Ч qⁿ -1.

(для геометрической прогрессии используем метод при n₀ = 2, так как не исключается случай q = 0; при q № 0 формула общего члена также справедлива для любого натурального n).

Доказательство.

1. Докажем для n = 1 (n = n₀ = 2) . Так как а₁ = a₁ + 0 = a₁ + d Ч 0 = a₁ + d (1 - 1) (по определению b₂ = b₁ Ч q = b₁ Ч q^2-1 ), то для этих случаев формулы общего члена верны.
2. Предположим, что формулы верны при некотором натуральном n = k (k і 2), т. е. a_k = a₁ + d(k -1) (b_k = b₁ Ч q^k -1).
3. Докажем, что она справедлива при n = k + 1, т. е. a_k+1 = a₁ + d [(k +1)-1] (b_k+1 = b₁ Ч q^{[ (k+1) -1]} ).

По определению арифметической (геометрической) прогрессии и предположению индукции, а также по свойству степеней получаем:

a_k +1 = a_k + d = a₁ + d(k -1) + d = a₁ + dk = a₁ + d [(k +1)-1]

(b_k +1 = b_k Ч q = b₁ Ч q^k -1 Ч q = b₁ Ч q^k -1+1 = b₁ Ч q^k = b₁ Ч q^{[ (k+1) -1]} ), что и требовалось доказать.

Замечание. Если q № 0, то формула общего члена геометрической прогрессии верна и для n = 1, так как b₁ = b₁ Ч 1= b₁ Ч q⁰ = b₁ Ч q^1-1.