Учебник по Математике и Алгебре.

Оглавление учебника

АЛГЕБРА: Последовательности

7.2. Геометрическая прогрессия

Формула общего члена геометрической прогрессии.

Последовательность {b_n } называется геометрической прогрессией, если существует такое число q , называемое знаменателем арифметической прогрессии, что для любого номера n

b_n +1 = b_n Ч q. (1)

Замечание. Обычно требуется, чтобы b₁ № 0 и q № 0.

(если q № 0, то формула (1) верна и для n = 1).

Формула общего члена : "n О N, n і 2

b_n = b₁ Ч qⁿ -1. (2)

Эта формула выводится так:

b₂ = b₁ Ч q ; b₃ = b₂ Ч q = b₁ Ч q² ; … ;

b_n = b_n-1 Ч q = b_n-2 Ч q² = … = b₁ Ч qⁿ -1.

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии.

"n О N S_n = b₁ + b₂ + … + b_n - сумма n первых членов геометрической прогрессии. Формула для S_n :

, если q № 1, (3)

S_n = nb₁ , если q = 1.

При выводе формулы для S_n воспользуемся (1) и запишем выражения для qS_n и S_n .

qS_n = b₂ + b₃ + … + b_n + b_n+1 ,

S_n = b₁ + b₂ + … +b_n .

Вычитая из первого из этих выражений второе, применяя формулу (2), будем иметь

(q - 1)S_n = b_n+1 - b₁ = b₁ qⁿ - b₁ = b₁ (qⁿ - 1), откуда при q № 1 и получается формула (3);

если же q = 1, то очевидно, что все члены геометрической прогрессии равны b₁ , а потому и S_n = nb₁ .

Вопрос. Доказать, что последовательность {b_n } является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда

"n О N, n і 2 b_n² = b_n-1 Ч b_n+1 .