Учебник по Математике и Алгебре.

Оглавление учебника

АЛГЕБРА: Последовательности

7.1. Арифметическая прогрессия

Числовая последовательность.

Пусть задана функция, определенная на множестве натуральных чисел N , со значениями a(n) = a_n (n = 1,2,…), тогда говорят, что числа а₁, а₂, а₃, … , а_n , … образуют числовую последовательность. Обозначается {a_n}.

Формула общего члена арифметической прогрессии.

Последовательность {a_n } называется арифметической прогрессией, если существует такое число d , называемое разностью арифметической прогрессии, что для любого номера n

a_n +1 = a_n + d.

Формула общего члена : "n О N

a_n = a₁ + d(n -1).

Эта формула выводится так:

а₂ = a₁ + d ; a₃ = a₂ + d = a₁ +2d ; … ;

a_n = a_n-1 + d = a_n-2 + 2d = … = a₁ + (n -1)d.

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.

" n О N S_n = a₁ + a₂ + … + a_n - сумма n первых членов арифметической прогрессии. Формула для S_n :

(1)

Второе равенство в этой формуле сразу следует из формулы общего члена.

При выводе формулы для S_n надо обратить внимание на доказательство промежуточного факта:

a_k + a_n-k+1 = a_n + a₁ , k = 2, 3, … , n -1, (2)

который легко устанавливается на основе формулы общего члена.

Представим S_n следующими двумя способами:

S_n = a₁ + a₂ + … + a_n ,

S_n = a_n + a_n-1 + … +a₁ .

Складывая эти два равенства и применяя (2), получим

2S_n =(a₁ + a_n ) + (a₂ + a_n-1) + … + (a_n-1 + a₂) + (a_n + a₁) = n(a₁ + a_n ), Ю (1).

Вопрос. Доказать, что последовательность {a_n } является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда

"n О N, n і 2 .