Неравенства с одной переменной.
Пусть дано неравенство
f(x) > g(x ). Всякое значение переменной, при котором данное неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства. Решить неравенство с переменной - значит найти все его решения или доказать, что их нет.Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если решения этих неравенств совпадают; в частности неравенства равносильны, если они не имеют решений.
Теорема 1.
Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 2.
Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 3.
Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 4.
Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же выражение, принимающее при всех значениях переменной положительные значения, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 5.
Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же выражение, принимающее при всех значениях переменной отрицательные значения, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.
Графическое решение неравенств.
Для графического решения неравенства
f(x) > g(x ) нужно построить графики функций y = f(x ) и y = g(x ) и выбрать те промежутки оси абсцисс, на которых график функции y = f(x ) расположен выше графика функции y = g(x).Система и совокупность неравенств с одной переменной.
Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют систему, если ставится задача найти все общие решения заданных неравенств. Значение переменной, при котором каждое неравенство системы обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы неравенств
.Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность, если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является решением хотя бы одного из данных неравенств. Значение переменной, при котором хотя бы одно из неравенств, образующих совокупность, обращается в верное числовое неравенство, называется решением совокупности неравенств
.Неравенства и системы неравенств с двумя переменными.
Рассмотрим неравенство
f( x; у) > g( x; у). Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая неравенство в верное числовое неравенство. Известно, что пара действительных чисел (x; у) однозначно определяет точку координатной плоскости. Это дает возможность изобразить решения неравенства или системы неравенств с двумя переменными геометрически, в виде некоторого множества точек координатной плоскости.