Учебник по Математике и Алгебре.

Оглавление учебника

АЛГЕБРА: Графики функций

5.4. Свойства логарифмической функции и ее график

Функция вида y = log_ax , где 0 < a № 1 - постоянное число, а х - переменное (аргумент), называется логарифмической функцией.

1. D[log_ax] - (0, +Ґ ), так как " x > 0 и " а: 0 < a № 1 $ ! у: а^у = х, а по определению логарифма y = log_ax.
2. Е[log_ax] - (-Ґ, +Ґ ), так как " у О R определено однозначно

х = а^у Ы log_ax = y .

3. Нет max и нет min (Это вытекает из II).
4. Нет четности и нечетности, так как D[log_ax ] не симметрична относительно начала координат.
5. Нет периодичности, так как функция строго монотонна.
6. log_ax = 0 Ы x = 1 (так как а⁰ =1);

при а > 1 log_ax > 0 на (1, +Ґ ), log_ax < 0 на (0, 1)

(вытекает из возрастания y = log_ax);

при 0 < a < 1 log_ax < 0 на (1, +Ґ ), log_ax > 0 на (0, 1)

(вытекает из убывания y = log_ax).

7. Пусть а > 1, 0 < x₁ < x₂, y₁ = log_ax₁, y₂ = log_ax₂ , при этом

,

в силу возрастания функции а^х y₁ < y₂ , следовательно, log_ax₁ < log_ax₂ , а потому при а > 1 логарифмическая функция возрастает;

пусть 0 < a < 1, 0 < x₁ < x₂ , так как y₁ = log_ax₁, y₂ = log_ax₂ , то

,

так как функция а^х убывает, то y₁ > y₂ , следовательно, log_ax₂ < log_ax₁ ,а потому при 0 < a < 1 логарифмическая функция убывает;

8. Графики

 

Если а > 1, то при х ® +Ґ ( х ® 0 + 0) log_ax ® +Ґ (log_ax ® -Ґ ).

Если 0 < a < 1, то при х ® +Ґ ( х ® 0 + 0) log_ax ® -Ґ (log_ax ® +Ґ ).