Учебник по Математике и Алгебре.

Оглавление учебника

АЛГЕБРА: Графики функций

5.2. Свойства квадратичной функции и ее график

Функция вида у = f(x) = ax² + bx + c называется квадратичной функцией, a, b, c О R, a № 0 - постоянные числа, х О R - переменная.

I.D[f] - (-Ґ , +Ґ ), так как (аналогично случаю линейной функции) из свойств действительных чисел вытекает, что" х О R существует и единственное число у = f(x).

II. Е[f] - [-D/4a, +Ґ ) , если а > 0 и

Е[f] - (-Ґ, -D/4a ], если а < 0, где D = b² - 4ac.

Доказательство. Преобразуем f(x) следующим образом:

.

" х О R (x + b/2a)² і 0, поэтому при а > 0 ( а < 0) вытекает, что " х О R f(x) і -D/4a (f(x) Ј -D/4a).

Фиксируем произвольное у₀ і -D/4a ( у₀ Ј -D/4a). Рассматривая уравнение f(x) = у₀ Ы ax² + bx + c - у₀ = 0, откуда D' = b² - 4 a(c - у₀) = b² - 4 ac + 4aу₀ = 4a ( у₀ + D/4a ), мы и получим, что если а > 0 ( а < 0) и у₀ і -D/4a ( у₀ Ј -D/4a) , то D' і 0, поэтому уравнение f(x) = у₀ имеет решения, то есть $ х₁, х₂: f( х₁) = f( х₂) = у₀ , II доказано.

Ш. Если а > 0, то существует min f(x) = -D/4a = f(-b/2a ), а если а < 0, то существует max f(x) = -D/4a = f(-b/2a ) (см. п. II), а max f(x) (min f(x )) при а > 0 ( а < 0) не существует.

IV. Четность и нечетность. D[f] - симметрична относительно точки х₀ = 0. Исследуем равенство f(-x) є f(x) Ы a(-x)² + b(-x) + c є ax² + bx + c Ы 2 bx є 0 Ы b = 0 Ю при а > 0 ( а < 0), b = 0 - функция четная, а при b № 0 - не является четной. Исследуем равенство f(-x) є -f(x) Ы a(-x)² + b(-x) + c є -ax² -bx - c Ы 2(ax² + c) є 0 Ы x² = -c/a , что неверно, так как х - переменная, Ю f(x) - не является нечетной.

V. В силу п. VII f(x) - не является периодической (так как она строго монотонна на бесконечных промежутках).

VI. Если D і 0, то f(x) = 0 при (см. Главу 10);

так как f(x) =a(x-x₁)(x-x₂ ), то

при D = 0 (x₁ = x₂ = -b/2a) f(x) > 0 (< 0) на (-Ґ,-b/2a) И (-b/2a, +Ґ ),

если же D > 0, то при а > 0 ( а < 0) f(x) > 0 (< 0) на (-Ґ,x₁) И (x₂, +Ґ ),

и f(x) < 0 (> 0) на (x₁,x₂ ), где x₁ - меньший, x₂ - больший корни уравнения f(x) = 0;

при D < 0 f(x) і -D/4a , если а > 0 и f(x) Ј -D/4a , если а < 0 Ю

f(x) > 0 (< 0) при а > 0 ( а < 0) всюду на (-Ґ , +Ґ ).

VII. Если а > 0 ( а < 0), то f(x) = ax² + bx + c возрастает на [-b/2a, +Ґ ) ((-Ґ,-b/2a ]) и убывает на (-Ґ,-b/2a] ([-b/2a, +Ґ )).

Доказывается это путем рассмотрения произвольных x₂ > x₁ і -b/2a и x₁ < x₂ Ј -b/2a и разности f(x₂) - f(x₁) = a(x₂²- x₁²) + b(x₂ - x₁) = (x₂ - x₁)(a(x₂ + x₁) + b)= a(x₂ - x₁)(x₂ + x₁ + -(-b)/a);

x₂ - x₁ > 0 всегда поэтому знак разности f(x₂) - f(x₁ ) зависит от знака выражения а(x₂ + x₁ + -(-b)/a ), а он и определяется сформулированными в условиях п. VII данными следующим образом: если x₂ > x₁ і -b/2a (x₁ < x₂ Ј -b/2a) , то в силу свойств числовых неравенств

x₁ і -b/2a (x₂ Ј -b/2a)

x₂ > -b/2a (x₁ < -b/2a),

почленно складывая эти неравенства, мы получим

x₁ + x_{2 і} -b/a (x₂ + x_{2 Ј} -b/a),

а уже отсюда все определяется знаком числа а.

VIII. Графики.

(0; с) точка пересечения графика функции с осью Оу (т. к. f(0) = c); (x₁; 0), (x₂ ; 0) - точки пересечения графика функции у = f(x) с осью Ох при D > 0; при D = 0 это точка касания, x₁ = x₂ = -b/2a; при D < 0 таких точек нет.