Учебник по Математике и Алгебре.

Оглавление учебника

АЛГЕБРА: Числа

2.5. Арифметические корни n - ой степени и степени с рацоинальными показателями

Свойства арифметических корней n - ой степени.

Пусть числа a, b О R. Число b называется корнем n - ой степени (n О N) из числа а (алгебраическим корнем), если . Если а і 0, b і 0, то число называется арифметическим корнем n - ой степени из числа а. Арифметический корень обозначается так:

Это обозначение применяется и для случая нечетного n и отрицательного а ( а<0), при этом также b<0.

При n = 1 b = a , так как , при n = 2 .

Без доказательства принимается существование арифметического корня n - ой степени; его единственность вытекает из свойства 10 числовых неравенств.

Свойства корней n - ой степени:

, " nО N, " a і 0, b і 0, a, b О R

, " nО N, " a і 0, b > 0, a, b О R

, " n, m О N, " a і 0, a О R

, " n, m, k О N, k =m : n, " a і 0, a О R

, " n, m, k, r О N, m = nk + r, 0 < r Ј n-1, " a і 0, a О R

6. , " n, m О N, " a і 0, a О R

7. , " n, m, p, q, k О N, m = kq, n = kp, " a і 0, a О R

8. , " n, m, p, q О N, " a і 0, a О R

, " n, m, p, q О N, " a і 0, a О R.

Доказательства.

Их доказательства основаны на определении корня, единственности корня (в свойстве 1. применяется еще единственность алгебраического корня нечетной степени из отрицательного числа) и свойствах степеней с натуральными показателями.

1. и Ю , n = 2k -1, если n = 2k , то так как " nОN , что выводится точно так же, как и в случае n = 2k -1 (при этом используется то, что );

2. , Ю 2.;

3. , Ю 3.;

4. , Ю 4.;

5. , Ю 5.;

Ю 5.;

6. Ю 6.;

7. ;

8. , аналогично рассматривается случай частного с использованием свойства 4. степеней.

Свойства корней полностью доказаны.

Обратить внимание, что в свойствах 2 и 3 при n = 2k, kОN для любых a,b О R таких, что ab і 0 (в случае 3 b № 0) имеют место равенства, которые предлагается самостоятельно обосновать.

2'. и 3'. .

Свойства степеней с рациональными показателями.

Пусть p О Z, q О N, a > 0, a О R, , в частности при p = 1 , если p О N , то определено и для а = 0.

Если q < 0, то , однако все свойства степеней с рациональными показателями будут формулироваться и доказываться для случая, когда у показателей q,s >0.

Свойства степеней:

Свойства 1 - 5 справедливы для всех действительных a и b , при которых определены левые и правые части выписанных равенств, в частности, для любых a > 0, b > 0, a,b О R , свойство 6 - " указанных a,b ОR.