Учебник по Математике и Алгебре.

Оглавление учебника

АЛГЕБРА: Числа

2.4. Свойства степеней с натуральными и целыми показателями

Определение степени.

Степенью с натуральным показателем называется выражение , где число называется основанием степени, а число называется показателем степени.

Пусть , то ;

если то ; не определено.

, где ; не определено.

Если Ю (так как );

, при любом . Следовательно, и (где Z - множество целых чисел) имеем:

.

Свойства степеней.

Для любых целых чисел m и p:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 

.

Свойства 1 - 5 справедливы , не равных 0; свойство 6 - указанных .

Доказательства:

1.(а) :

(б) :

(в) : .

2.(а) :

(б) :

(в) : .

3. (а)

(б) : ,

рассматривается аналогично,

:

(в) , тогда :

(по свойству 4., случаи (а) и (б), доказательства которых не опираются на свойство 3., случаи (в) и (г)),

рассматривается аналогично

(г) , тогда :

.

Ю свойство 3. полностью доказано.

4. (a) m>0, p>0 :

m>p :

m = p :

m<p :

(б) m>0, p = 0 :

 

m = 0, p>0 :

(в) остальные случаи свойства 4. вытекают из свойства 3. :

Ю .

5. (а) m>0, p>0 :

(б) m>0, p = 0 :

m = 0, p>0 :

m = p = 0 :

(в) mЈ 0, pі 0 Ю m = -n, n і 0 :

mі 0, pЈ 0 Ю p = -q, q і 0 :

mЈ 0, pЈ 0 Ю m = -n, p = -q, n,q і 0 :

Ю свойство 5. полностью доказано.

6. m >0, это свойство сразу вытекает из свойства 10 числовых неравенств

m<0 Ы -m> 0, далее также, как и ниже, для случая отрицательного рационального показателя.

Таким образом все свойства степеней с целыми и, в частности, с натуральными показателями доказаны.