Учебник по Математике и Алгебре.

Оглавление учебника

АЛГЕБРА: Алгебраические выражения

3.4. Иррациональные выражения

Простейшие преобразования арифметических корней.

При преобразовании арифметических корней используются их свойства.

Рассмотрим несколько примеров простейших преобразований корней. Будем считать, что все переменные неотрицательны.

П р и м е р: Извлечь корень .

Р е ш е н и е. .

П р и м е р: Упростить .

Р е ш е н и е. .

П р и м е р: Упростить выражение .

Р е ш е н и е. .

Обычно при выполнении действий над корнями переходят к дробным показателям:

.

Также используется тождество .

П р и м е р: Упростить выражение .

Р е ш е н и е. Имеем . Так как выражение содержит слагаемое , то , то x £ 2 Þ Þ . Итак, получаем:

.

Преобразование иррациональных выражений.

Для преобразования иррациональных выражений используются свойства корней и свойства степеней с рациональным показателем.

П р и м е р: Упростить выражение

.

Р е ш е н и е.

О. Д. З.: .

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. .

Итак, .

Обычно стараются записать ответ так, чтобы в знаменателе не содержалась иррациональность. Для избавления от иррациональности в знаменатели дроби умножим и числитель, и знаменатель на - это выражение называется сопряженным для выражения . Получим:

.

О т в е т: ,.