Учебник по Математике и Алгебре.

Оглавление учебника

АЛГЕБРА: Алгебраические выражения

3.3. Дробные рациональные выражения

Основное свойство рациональной дроби.

Любое дробное выражение можно записать в виде, где P и Q - рациональные выражения, причем Q обязательно содержит переменные. Такую дробь называют рациональной дробью.

Основное свойство дроби выражается тождеством , справедливым при условиях , где R - целое рациональное выражение (многочлен, одночлен или число).

Приведение рациональных дробей к общему знаменателю.

Сократить дробь - это значит разделить числитель и знаменатель дроби на общий множитель. Возможность такого сокращения обусловлена основным свойством дроби.

Общим знаменателем нескольких рациональных дробей называется целое рациональное выражение, которое делится на знаменатель каждой дроби.

Чтобы несколько рациональных дробей привести к общему знаменателю, нужно:

разложить знаменатель каждой дроби на множители;
составить общий знаменатель, включив в него в качестве сомножителей все множители полученных разложений; если множитель имеется в нескольких разложениях, то он берется с наибольшим показателем степени;
найти дополнительные множители для каждой из дробей (для этого общий знаменатель делят на знаменатель дроби);
домножив числитель и знаменатель на дополнительный множитель, привести дроби к общему знаменателю.

Сложение и вычитание рациональных дробей.

Сумма двух (любого конечного числа) рациональных дробей с одинаковыми знаменателями тождественно равна дроби с тем же знаменателем и с числителем, равным сумме числителей складываемых дробей:

Аналогично и в случае вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:

Для сложения или вычитания рациональных дробей с разными знаменателями нужно привести дроби к общему знаменателю, а затем выполнить операции над дробями с одинаковыми знаменателями.

П р и м е р: Упростить выражение .

Р е ш е н и е .

Умножение и деление рациональных дробей.

Произведение двух (любого конечного числа) рациональных дробей тождественно равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель - произведению знаменателей перемножаемых дробей:

Частное от деления двух рациональных дробей тождественно равно дроби, числитель которой равен произведению числителя первой дроби на знаменатель второй дроби, а знаменатель - произведению знаменателя первой дроби на числитель второй дроби:

П р и м е р: Выполнить умножение .

Р е ш е н и е.

Возведение рациональной дроби в целую степень.

Чтобы возвести рациональную дробь в натуральную степень n , нужно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель дроби; первое выражение - числитель, а второе выражение - знаменатель результата:

При возведении дроби в целую отрицательную степень используется тождество: , справедливое при всех значениях переменных, при которых P № 0, Q № 0.

Преобразование рациональных выражений.

Преобразование любого рационального выражения сводится к сложению, вычитанию, умножению и делению рациональных дробей, а также к возведению дроби в натуральную степень. Всякое рациональное выражение можно преобразовать в дробь, числитель и знаменатель которой целые рациональные выражения; в этом, как правило, состоит цель тождественных преобразований рациональных выражений.

П р и м е р: Упростить выражение

Р е ш е н и е.

О. Д. З.: .

;

;

;