Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории Максвелла


МГТУ им Н.Э.Баумана
гр. ФН2-41
Котов В.Э.



  Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории
  Максвелла.
 (по материалам лекций Толмачева В.В.)


  Постановка задачи

    Пусть  имеются две диэлектрические среды 1 и 2 , с  электрической и
  магнитной проницаемостью   и   соответственно. Из среды 1 в 2
  падает плоская монохроматическая волна  (границу раздела будем считать
  плоской).При  переходе через  границу раздела волна разделится  на две
  части : отраженную волну (в среде 1)  и преломленную волну (в среде 2)
  , необходимо выяснить соотношения между углами  и , а также
  между  интенсивностями  падающей и отраженной волн (рис 1).
  
                               рис.1
  Данная  волна должна представлять собой точное  решение уравнений
  Максвелла :  и   (1)   (учитывая , что среда диэлектрическая
  , т.е. )
  для плоской монохроматической волны точное решение этих уравнений будет
  (если оси Х направить в сторону распространения волны):
       и     (==0)    (2)
  где  A и B ,  и , - постоянные (не зависят от времени и
  координаты) ,
         и - характеристики среды , в которой распространяется
  волна ,
          ,  t - рассматриваемый момент времени
                               x - рассматриваемая координата на оси Х

                               V - скорость распространения волны в
  данной среде

  (естественно , в силу линейности уравнений Максвелла любая сумма таких
  волн будет также их точным  решением )
     Также она должна удовлетворять условиям на границе раздела : и
   не терпят разрыва на поверхности раздела ,  и  также не
  терпят разрыва , поскольку на границе раздела не течет ток и нет
  поверхностной плотности заряда:
                  (3)
  (индексом 1 обозначаем все , относящееся к первой среде , индексом 2 -
  ко второй)
     Таким образом  , необходимо построить точное решение уравнений  (1)
  , удовлетворяющих  условиям  (3). Для этого рассмотрим два случая :
  случай  ТМ -волны (р-волны )  - вектор перпендикулярен плоскости
  падения  (трансверсальная магнитная) , и случай ТЕ-волны (s-волны)-
  вектор  перпендикулярен плоскости падения  (трансверсальная
  электрическая). Любая плоская волна (с любой поляризацией) может быть
  представлена как линейная комбинация двух таких волн.

  Случай  ТМ -волны (p - волны)
  
                                         рис.2
  Из рисунка видео , что   , запишем условия равенства   на
  границе раздела :
      ( учитывая , что волна в среде 1 есть сумма падающей и
  отраженной волн)
  подставляем значения:
  
   подставляем  из  (2) :
  
  Аналогично , поскольку  получаем для вектора на границе
  раздела:
   ( c учетом (2) )
  
  для выполнения равенств для и  потребуем  равенства
  аргументов косинусов :
  
  потребуем также равенства начальных фаз: 
  из рисунка видно , что :  ,     (4)
  (,и  - соответственно : угол падения , угол отражения и
  угол преломления ) , тогда имеем :
  
  
  
  из равенства аргументов получаем :
  
   (т.к.  ,  )
  т.е. получены , как и следовало ожидать , законы отражения и
  преломления света
  разделим теперь  выражения дляи на   , получим (c учетом
  (4) ) следующую систему :
        (5)
  здесь неизвестными являются и  , а  - заданно.
 Умножим   первое уравнение на   а второе на   и вычтем из
  первого второе , тогда члены с сократятся и получим:
  
  поскольку для неферромагнетиков  магнитная проницаемость
  незначительно отличается от единицы , то для сравнительно широкого
  класса сред можно считать , тогда:
  .
  ( разделим числитель и знаменатель на , и учтя , что )
  применив закон преломления , получим (6):

  из второго уравнения системы (5) получаем для :
     (поскольку полагаем ,) , тогда:
        (7)
  проверим теперь выполнение еще двух условий на границе раздела ,которые
  мы не учли - и . Второе равенство выполняется заведомо ,
  поскольку  , проверим первое равенство  :
   из рисунка видно , что   , а   подставим значения
  , и ( из 2) , сократив сразу на  , и учитывая  (4)
  :
  (выражая через второе уравнение системы  (5) )
  
   Таким  образом  действительно получено точное решение уравнений (2) ,
  удовлетворяющее всем начальным условия. Итак , имеем  следующие формулы
  Френеля для случая s-волны для отражения и преломления (из (6) и (7) ):
      и    


  Случай  ТЕ -волны ( s - волны)
  
                                        рис.3
  Из рисунка видно , что  
  Условия  (3) для   и  :
  
  подставляя значения  и   из (2) получим :
  как и в случае  ТМ-волны  предполагаем равенство аргументов
  косинусов и совершенно аналогично получаем в этом случае закон
  отражения и преломления света , сокращая на  и с учетом (4)
  получим систему :
               (8)
  умножим первое уравнение на   а второе на  и вычтем из
  первого второе :
  
  
  поскольку мы полагаем   (см. выше) то  
     (9)
  из второго уравнения системы (8) получаем:
        (10)
  проверим  теперь неучтенные условия на границе раздела :  и
   .
  Второе условие выполняется , поскольку  , проверим выполнение
  равенства :    из рисунка видно , что  , а   подставим
  значения , и ( из 2) , сократив сразу на  , и
  учитывая  (4) получим : 
  подставляем  из второго уравнения системы (8) :
  
  таким образом мы действительно нашли точное решение уравнений (2) ,
  удовлетворяющее всем начальным условиям . В случае p-волны имеем
  следующие формулы Френеля для отражения и преломления  (из (9) и (10))

      и 



  Анализ формул Френеля

  Исследуем отношения энергий (точнее плотности потока энергий ) падающей
и отраженной  ТМ и ТЕ  волн и падающей и  прошедшей волн  в зависимости
от угла падения . Для этого рассмотрим  отношение нормальной
составляющей вектора Пойтинга    падающей и отраженной  ( и
 в случае ТМ и ТЕ волн  соответственно)  и падающей и прошедшей
(
и )  волн. Тогда с из  полученных формул Френеля для отражения и
преломления , с учетом (2) будем иметь:
  
  
  

  

  А. Отражение

   Исследуем  сначала  поведение и  на границах отрезка :
  при   (просто положить  равным нулю нельзя , потому что будет
  неопределенность ):
  
  
  
  для случая падения из воздуха в стекло () : 
  т.е. это величина порядка нескольких процентов (можно заметить , что
  если поменять среды местами  - т.е. рассматривать падение из воды в
  воздух , то это значение не изменится)
 В случае падения из оптически менее плотной среды в оптически более
  плотную  при:
               
   Действительно, преломленной  волны при скользящем падении не
  образуется и интенсивность                   падающей волны не
  меняется.
    В случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее
  плотную , необходимо учесть явление полного внутреннего отражения ,
  когда прошедшей волны нет - вся волна отражается от  поверхности
  раздела. Это происходит при  значениях  больших , чем ,
  вычисляемого следующим образом:
  [1]
 Для падения из стекла в воздух 
  Здесь не рассматривается  полное внутреннее отражение , поэтому  в
  случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее
  плотную  изменяется до , в этом случае:
           

 Далее исследуем  поведение  этих функций между крайними точками , для
  этого исследуем на монотонность функции:   и 
  Нам понадобится производная , найдем ее как производную функции ,
  заданной неявно :
   

  Знак этой  производной ( поскольку  , ) зависит только
  от  знака  выражения  , это выражение > 0  , когда   (то есть
  падение из оптически мене плотной среды в оптически более плотную ) и
  <0 , когда    (из более оптически плотной в менее оптически
  плотную ) , следовательно в первом случае     монотонно
  возрастает, а  во  втором , убывает . Но  в случае    ,
  следовательно  по модулю это выражение будет возрастать , в
  случае оно также будет по модулю  возрастать . Таким образом
  ,  , как квадрат этого выражения , в обоих случаях  монотонно
  возрастает  от  при  до  1 при .или.

  

   Знак этой производной ,( поскольку  ,

  есть >0 при  и  <0 при .
   Знак функции  меняется следующим образом :
  при   если  невелико>0 , но эта функция  проходит через
  нуль. Поскольку числитель , при рассматриваемых пределах изменения
   в 0 обращаться не может[2]  это происходит тогда , когда
  знаменатель обращается в бесконечность т.е.:
  
  Это есть угол Брюстера () , при котором   обращается в 0 , то
  есть отраженная волна отсутствует . Для  случая падения из воздуха в
  стекло , для обратного случая (из стекла в воздух) При
  переходе через этот угол  меняет знак на минус  , следовательно
   как квадрат этой функции сначала  убывает (до нуля) , а затем
  возрастает (до 1).
 При    для  небольших<0 , при переходе через  знак
  будет меняться  на плюс. Переход через  действительно будет  иметь
  место , хотя  изменяется до  ,а не до  , поскольку
  . Таким образом   снова  монотонно убывает до 0 , а затем
  монотонно возрастает до 1.
    Итак , в обоих случаях   сначала монотонно убывает от при
   до 0 при  , а затем монотонно возрастает до 1 при  или
  .

   Полученные  зависимости  иллюстрируются следующими графиками :
  на первом показана зависимость (сплошная линия) и (пунктирная
  линия) от  для случая падения волны из воздуха в стекло (n=1.51)




на втором -для случая падения волны из стекла в воздух



  В. Преломление

      Для анализа поведения  и  воспользуемся следующим
  соображением - падающая волна на границе раздела  разделяется на две -
  прошедшую  и отраженную  , причем энергия падающей  волны (энергия ,
  переносимая волной  через границу раздела сред) уходит в энергию
  отраженной  и преломленной волн (поскольку никаких других источников
  нет). Поэтому , поскольку коэффициент  показывает отношение
  энергии прошедшей волны к энергии падающей ,  - отношение энергии
  отраженной волны к энергии падающей в p-волне , а  и  -
  аналогичные отношения в s-волне , должны выполнятся соотношения :
                  и   
    Действительно , проверим это :

рассмотрим отдельно числитель:
таким образом действительно  , аналогично
  



     Таким образом , используя предыдущее исследование  , можно
  сказать , что :
  
    Для случая падения из воздуха в стекло (а можно заметить , что если
  среды поменять местами , то это значение не изменится ) 
  
   Между  этими точками  и  ведут себя противоположно и
   .
   Окончательно ,  монотонно возрастает от   ( )до  ,
  а затем монотонно убывает до 0 ( при  ) ,  монотонно убывает
  от  до 0 (при тех же пределах изменения). Причем как для
  случая падения из менее оптически плотной среды , так и из более
  оптически плотной. Ниже на рисунке представлены графически зависимости
  для обоих этих случаев.
  

  С. Набег фаз при отражении и преломлении

    Из формул Френеля следует , что отношения  ,,и 
  могут в принципе получится и отрицательными . Поскольку амплитуда есть
  существенно положительная величина , в  этом случае имеет место сдвиг
  фазы волны на . Далее выясним , когда такой сдвиг имеет место.
     В случае отраженной p-волны     , как установлено в п. А , эта
  функция
  при n>1 больше 0 при  и меньше 0 при , при n<0 промежутки
  знакопостоянства меняются местами . Таким образом , в случае падения из
  менее оптически плотной среды в более плотную сдвиг фаз на в
  отраженной p-волне наблюдается при  , а в случае падения из более
  плотной в менее плотную - при.
     В случае отраженной s-волны  , эта функция меньше 0 при  и
  больше 0 в противном случае. Таким образом , сдвиг фаз на в
  отраженной s-волне наблюдается при падении из менее оптически плотной
  среды в более плотную , и не наблюдается при падении из более плотной
  среды в менее плотную.
     В случае произвольно падающей линейно поляризованной волны , которая
  представляется в виде суммы p и s-волн , в отраженной волне , таким
  образом , можно получить , в общем случае волну произвольной
  (эллиптической) поляризации .
     Для исследования сдвига фаз в прошедшей волне , воспользуемся
  соотношениями , возникшими как промежуточные результаты при выводе  (7)
  и (10) :
                      и  
  из этих соотношений видно , что , поскольку    и  , то всегда
  и  . То есть , в прошедшей волне изменения фазы не происходит
  (причем это верно для волн произвольной поляризации).


  Дополнительная литература:
 Cивухин Д.В. “Общий курс физики. Оптика”  , Москва , “Наука”,1985г.
 Савельев И.В. “Курс общей физики” , том 2 , Москва , “Наука” , 1979г.

-----------------------
[1] -здесь под n понимается показатель преломления той среды , куда падает
луч относительно той , откуда он падает , в оптике в этом случае под n
понимают показатель преломления  оптически более плотной среды относительно
оптически менее плотной , т.е. в  этом случае в этой формуле стоит 
[2]-- числитель также не может обращаться в бесконечность , поскольку это
возможно только в случае  , но в этом случае  , а это невозможно
т.к.  и