На
Главную
ГДЗ:
Английский
язык Алгебра Геометрия Физика Химия Русский
язык Немецкий
язык
Подготовка к экзаменам (ЕГЭ) Программы и пособия Краткое содержание Онлайн учебники
Шпаргалки Рефераты Сочинения Энциклопедии Топики с переводами
Все темы:"Рефераты по Математике"
Математика 1 часть .
ТЕМА 1. Скалярные и векторные величины
|ОСНОВНЫЕ |Величины называют скалярными (скалярами), если они после |
|ОПРЕДЕЛЕНИЯ |выбора единиц измерения полностью характеризуются одним |
|СКАЛЯРНЫХ И |числом. |
|ВЕКТОРНЫХ |Если некоторая скалярная величина полностью определяется |
|ВЕЛИЧИН. |одним числом, не зависящим от выбора осей отсчета, то тогда|
| |говорят о чистой скалярной величине или об истинном |
| |скаляре. |
| |Если некоторая скалярная величина определяется одним |
| |числом, абсолютная величина которого не зависит от выбора |
| |осей отсчета, а ее знак зависит от выбора положительного |
|ВЕКТОР |направления на осях координат, то тогда говорят о |
| |псевдоскалярной величине |
| | |
| |Величина называется вектором (векторной), если она |
| |определяется двумя элементами различной природы: |
| |алгебраическим элементом - числом, показывающим длину |
| |вектора и являющимся скаляром, и геометрическим элементом,|
| |указывающим направление вектора. |
| |Геометрически принято изображать вектор направленным |
|СЛОЖЕНИЕ И |отрезком. Зная координаты начала и конца вектора и |
|ВЫЧИТАНИЕ |, можно найти координаты вектора, определяемого этими |
|ВЕКТОРОВ |точками , т.е. от координат конца вычитают координаты |
| |начала вектора. |
| |Сложение и вычитание |
| | Сложение и вычитание векторов производят |
| |геометрически (рис. 7). Этот способ называют правилом |
| |треугольника. |
| |Математически сложение записывают или , если |
| |речь идет о вычитании векторов (рис. 7). |
| |Если в пространстве задано несколько векторов, число |
| |которых больше двух, то операцию сложения (вычитания) |
| |записывают как Геометрически этот способ называют |
| |правилом многоугольника. |
| |Умножение вектора на скалярную величину. При умножении |
| |вектора на скаляр ( получают новый вектор , |
| |совпадающий по своему типу с исходным, длина (модуль) |
| |которого изменяется в ( раз, а направление совпадает с |
| |направлением исходного вектора , если ( ( 0, или |
| |противоположно исходному вектору, если ( < 0. В |
| |координатной форме, если , то . |
| |Два одинаково направленных и параллельных вектора |
| |называют коллинеарными. Коллинеарные векторы могут быть |
| |разной длины |
| |Два вектора и называют коллинеарными, если |
| |существуют такие два числа ( и (, не равные нулю |
| |одновременно, что выполняется равенство |
| |Три вектора ,и назовем компланарными, если |
|КОЛЛИНЕАРНЫЕ И |существуют такие три числа (, ( и (, не равные |
|КОМПЛАНАРНЫЕ |одновременно нулю, что выполняется равенство |
|ВЕКТОРЫ | |
| | |
ТЕМА 2. Действия над векторами
|СКАЛЯРНОЕ |Скалярным произведением двух векторов иназывается |
|ПРОИЗВЕДЕНИЕ |число S =|| || сos (). Эта операция обозначается|
|ВЕКТОРОВ |.В частности, скалярный квадрат вектора равен квадрату его|
| |длины, т.е. . Если один из перемножаемых векторов |
| |единичный, то: |
| | . |
| |В этом случае результат представляет собой проекцию вектора |
| | на направление единичного вектора . Следовательно, |
| |любой вектор можно представить как , где - проекции |
| |вектора соответственно на оси 0х, 0у и 0z. |
| |Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти |
| |векторы ортогональны. Действительно, если ни один из векторов |
| |не нулевой, то, по определению скалярного произведения, |
| |последнее может быть равно нулю только тогда, когда , т.е.|
| |. |
| |Если вектор представлен через проекции на базисные |
| |векторы, то говорят о разложении вектора по |
| |ортогональному базису. Из рисунка видно, что в этом случае |
| |вектор является главной диагональю прямоугольного |
|РАЗЛОЖЕНИЕ |параллелепипеда, ребра которого параллельны осям координат и |
|ВЕКТОРА ПО |равны длинам проекций вектора на эти оси. Из этого же |
|КООРДИНАТНЫМ |рисунка следует, что модуль вектора численно будет равен |
|ОРТАМ. |. |
| |Из определения скалярного произведения следует, что любой |
| |вектор, независимо от типа, можно представить в виде: |
| |, |
| |где , и есть скалярное произведение вектора |
| | с ортами осей координат. Тогда из последнего равенства |
| |имеем |
| | |
| |где (, ( и ( - углы, которые составляет вектор |
| |соответственно с осями 0х, 0у и 0z. |
| | |
| |Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти |
| |векторы ортогональны. Действительно, если ни один из векторов |
| |не нулевой, то, по определению скалярного произведения, |
| |последнее может быть равно нулю только тогда, когда , т.е.|
| |. |
| |Скалярное произведение векторов в координатной форме |
| | |
| |. |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
|СВОЙСТВА | |
|СКАЛЯРНОГО | |
|ПРОИЗВЕДЕНИЯ. | |
|СКАЛЯРНОЕ | |
|ПРОИЗВЕДЕНИЕ В | |
|КООРДИНАТНОЙ | |
|ФОРМЕ | |
ТЕМА 3. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение трех
векторов.
|ПРАВАЯ И ЛЕВАЯ |Линейно независимые векторы , и образуют |
|ТРОЙКИ ВЕКТОРОВ |правую тройку векторов, если они имеют такую же ориентацию,|
| |как соответственно большой, указательный и средний палец |
| |правой руки, в противном случае говорят о левой тройке |
| |векторов |
| |Три единичных вектора i, j, k, попарно ортогональные друг|
| |другу и образующие правую тройку векторов, называют |
| |прямоугольной декартовой системой координат. |
| |Углом между векторами и называют такой угол (, не|
| |превосходящий (, на который нужно повернуть вектор , |
| |чтобы совместить его с направлением вектора , начало |
| |которого должно совпадать с началом .Угол между |
| |векторами обозначается (,) или ((). |
|ВЕКТОРНОЕ | |
|ПРОИЗВЕДЕНИЕ | |
|ВЕКТОРОВ. |Под векторным произведением векторов и |
| |понимают вектор , имеющий длину и направленный |
| |перпендикулярно к плоскости ,определяемой векторами |
| |и , причем так, что векторы ,и |
| |образуют правую тройку векторов (длина вектора |
| |численно равна площади параллелограмма, построенного на |
| |векторах и как на сторонах (это геометрический |
| |смысл векторного произведения). |
| |Векторное произведение обозначают: или . |
| |Очевидно, что (из определения векторного |
| |произведения). . Векторное произведение подчиняется |
| |только распределительному закону: |
| |. |
| | |
| |. Смешанным произведением векторов , и |
| |назовем число К, равное объему параллелепипеда, |
| |построенного на этих векторах (рис. 10) и вычисляемое как: |
| | |
|СМЕШАННОЕ |Очевидно, что если , и компланарны, то К = |
|ПРОИЗВЕДЕНИЕ |=0. |
|ТРЕХ ВЕКТОРОВ |Из определения смешанного произведения следует интересный |
| |факт, что произведение не зависит от порядка следования |
| |векторов в смешанном произведении, так как объем |
| |параллелепипеда (положительный или отрицательный) зависит |
| |только от расположения этих векторов в пространстве (левая |
| |или правая тройка) потому, что является псевдоскаляром. |
| |Следовательно, можно записать |
| | или . |
| |Это свойство смешанного произведения служит обоснованием |
| |упрощения записи смешанного произведения: |
| |. |
ТЕМА 4. Прямая линия на плоскости.
|УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ|На плоскости, заметим, могут быть заданы только двухмерные,|
|НА ПЛОСКОСТИ |или плоские преобразования. |
| |Уравнение , связывающее две переменные x и y |
| |называется уравнением линии L в выбранной плоской системе |
| |координат, если координаты любой точки этой линии L |
| |удовлетворяют уравнению, а любые другие координаты точек, |
| |не принадлежащих лини L, не удовлетворяют указанному |
| |уравнению. |
| |По определению линия — это есть соотношение, связывающее |
| |координаты точек некоторой области пространства, и, причем |
| |только эти координаты. Уравнение представляет собой |
| |аналитическую запись уравнения любой плоской линии. |
| | |
| |. |
|УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ|Если вместо подставить его численное значение, от |
|С ЗАДАННОЙ |получим известное уравнение прямой |
|ТОЧКОЙ И |. |
|НАПРАВЛЯЮЩИМ |Известно, что уравнение прямой имеет вид: |
|ВЕКТОРОМ |. |
| |По условию задачи k задан. Точка M (x0 ,y0) должна также |
| |принадлежать искомой прямой и, по определению линии, |
| |обращать уравнение прямой в тождество. Воспользуемся этим и|
| |подставим значения x0 и y0 в уравнение, получим : |
| |. |
| |В последнем уравнении неизвестно b. Элементарным |
| |преобразованием из последнего уравнения получим |
| |. |
| |Найденное b подставим в уравнение и окончательно |
|УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ|. |
|ПО ДВУМ ТОЧКАМ |Уравнение является уравнением прямой, проходящей через |
| |данную точку в заданном направлении. |
| | |
| |Неизвестен k - угловой коэффициент наклона линии по |
| |отношению к положительному направлению 0X. Однако, зная |
| |общий вид уравнения прямой ( ) и учитывая, что обе |
| |точки расположены на искомой линии, можно составить |
| |следующую систему: |
| | , |
| |где – координаты точек M1 и M2 соответственно, |
| |(известны), а k и b – искомые неизвестные. Вычитая из |
| |первого уравнения второе, выразим k, |
| |. |
| |Подставим найденное k в любое из уравнений и определим b |
| | . |
| |Подставим найденные k и b в уравнение прямой |
| |. |
| |Преобразуем последнее уравнение |
| | |
| |и окончательно |
| |. |
| |Данное уравнение называется уравнением прямой, проходящей |
| |через две точки. |
ТЕМА 5. Прямая и плоскость в пространстве.
|УРАВНЕНИЕ | Любая |
|ПЛОСКОСТИ. |поверхность есть геометрическое место точек, ее |
| |составляющих, определенное уравнением |
| | |
| |Иными словами, все точки, которые |
| |удовлетворяют этому уравнению, будут |
| |принадлежать поверхности. |
| |Пусть в пространстве XYZ задана |
| |плоскость ( и к ней в точке K проведем |
| |вектор нормали . Так как плоскость ( |
| |ориентирована произвольно в пространстве, |
| |то вектор будет составлять с осями x, y, z углы (, |
| |( и ( соответственно. |
| |Выберем на плоскости ( точку M, не совпадающую с K и |
| |свяжем с этой точкой вектор . Очевидно, что , где|
| |( – модуль вектора , из уравнения получаем . |
| |Получаем нормальное уравнение плоскости: . |
| |Однако, если представим вектор как , а вектор |
| | , тогда подставив полученные выражения, получаем|
| | |
| |Зная, что для любой точки, принадлежащей плоскости, с |
| |координатами (A,B.C) можно вычислить направляющие косинусы |
| | |
| |с учетом которых можно уравнение преобразовать |
| |, |
| | |
| |которое известно, как уравнение плоскости. |
| | |
| |Прямой линией назовем пересечение двух плоскостей в |
| |пространстве. Определение можно записать математически как |
| |. |
| |Пусть плоскости ( и ( (рис. 6) заданы уравнениями: |
| | |
| |и |
| |, |
| |где ; , |
| |система из этих уравнений: |
| | Уравнения называются общими уравнениями прямой |
| |в |
| |пространстве, записанными в векторной форме. |
| | |
|ПРЯМАЯ КАК | |
|ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ| |
|ПЛОСКОСТЕЙ | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
|ВЕКТОРНОЕ | |
|УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ| |
| | |
ТЕМА 6Матрицы и определители.
|МАТРИЦЫ И |Матрицей A называется любая прямоугольная таблица, |
|ОПЕРАЦИИ НАД |составленная из чисел , которые называют элементами |
|НИМИ |матрицы и обозначается |
| | Если в выражении (1) , то говорят о |
| |квадратной матрице, а если , то о прямоугольной. |
| |Суммой двух матриц и называется матрица C, у |
| |которой , и записывают . |
| |Произведением матрицы на число называется такая |
| | |
| |матрица C = (cij), у которой (cij) = (kaij). |
| |Если матрица A не нулевая, т.е. существует хотя бы один |
| | элемент матрицы A, отличный от нуля, тогда всегда |
| |можно указать натуральное число такое, что 1) у |
| |матрицы A имеется минор го порядка ; 2) всякий |
| |минор матрицы A порядка и выше равен нулю, тогда |
| |число , обладающее указанными свойствами называется |
| |рангом матрицы A и обозначается . Из определения |
| |вытекает, что 1) ранг любой прямоугольной матрицы не должен|
| |быть больше, чем минимальный размер матрицы. Если матрица |
| |квадратная, то ранг не может быть больше, чем размер |
| |матрицы. Математически это можно выразить так 2) если|
| |все элементы матрицы A равны нулю, т. е. ,то ранг |
| |этой матрицы тоже будет равен нулю . |
| | |
| |Определителем n-го порядка называется число равное |
| |алгебраической сумме , где есть алгебраические |
| |дополнения элемента , а - есть соответствующие |
|ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ИХ |миноры, т.е. определители (n-1)-го порядка, получающиеся из|
|СВОЙСТВА |исходного определителя вычеркиванием первой строки и n-го |
| |столбца, на пересечение которых находится элемент . |
| |Количество строк (или столбцов) в определителе называется |
| |порядком определителя |
| |Решением системы называется совокупность из n чисел (с1, |
| |с2, ..., сn), которые, будучи подставленными в систему на |
| |место неизвестных x1, x2, ..., xn, обращают все уравнения |
| |системы в истинные равенства |
| |Систему уравнений, имеющую хотя бы одно решение, называют |
|СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ|совместной, систему, не имеющую решений, - несовместной. |
|УРАВНЕНИЙ. |Решения и считают различными, если хотя бы одно|
| |из чисел не совпадает с соответствующим числом |
| |Если совместная система имеет единственное решение, то она |
| |называется определнной; если совместная система имеет по |
| |крайней мере два различных решения, то она называется |
| |неопределенной. |
| |Формулы Крамера . |
| |Метод Гаусса. |
| |Пусть А - невырожденная матрица, то есть det A? 0, и, |
| |следовательно, она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе |
| |части на А-1 слева, получаем: |
| |А-1 (А Х) = А-1 В ? (А-1 А)Х = А-1 В ? Е Х = А-1 В, то |
| |есть Х = А-1 В и есть искомое решение системы (14). |
| |Действительно, подставив (16) в (14), получим А (А-1 В) = |
| |(А-1 А)В = Е В = В. |
ТЕМА 7. Предел функции.
|ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ.|Если некоторому множеству значений поставлено по |
| |определенному правилу F во взаимнооднозначное соответствие |
| |некоторое множество , то тогда говорят, что на |
| |множестве определена функция . Множество |
| |называется областью изменения функции, множество |
| |– областью определения функции. Такая функция |
| |называется однозначной. |
| |Если некоторому множеству значений поставлено по |
| |определенному правилу F несколько значений из множества |
| |, то тогда говорят, что на множестве задана |
| |многозначная функция. |
| |Для того чтобы обозначить, что есть функция от, |
| |используют следующие виды записи: ; ; и |
| |т.д. |
| |Если невозможно выразить , тогда говорят, что задана |
| |неявная функция и записывают: ; ; и |
| |т.д. |
| |Если надо выделить некоторое частное значение функции, |
|ЧИСЛОВАЯ |соответствующее какому-либо конкретному значению , |
|ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОС|тогда записывают: . |
|ТЬ. ПРЕДЕЛ |Если каждому натуральному n по какому-либо известному |
|ЧИСЛОВОЙ |правилу поставлено в соответствие некоторое число , |
|ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОС|тогда говорят, что задана последовательность , которая|
|ТИ. |обозначается как Правило, по которому формируется |
| |последовательность , обозначается как и |
| |называется общим числом последовательности. Число |
| |назовем пределом последовательности при |
| |стремящимся к , если для любого положительного, |
| |наперед заданного числа (, определяющего окрестность точки |
| |A, можно указать такую (, что для любого , отличного |
| |от из отрезка значений функции принадлежит|
| | и это записывают как . |
| |Последовательностьназывается бесконечно большой, если |
| |для любого числа найдется номер N, такой что для всех|
| | выполняется неравенство . Геометрически это |
| |обозначает, что какой бы большой номер числа |
| |последовательности мы ни взяли, то всегда найдется число, |
| |принадлежащее этой последовательности, и лежащее правее |
| |выбранного, если последовательность составлена из |
| |положительных чисел, или левее, если последовательность |
| |составлена из отрицательных. Это записывают , или |
| |. |
| |Последовательность называется бесконечно малой, если |
| | |
| |ТЕОРЕМА: Для того чтобы последовательностьсходилась к |
| |числу A необходимо и достаточно, чтобы выполнилось |
| |равенство , где . |
|ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ |Эта теорема дает связь между пределом сходящейся |
| |последовательности и бесконечно малыми. |
| |Функции называется непрерывной при или в точке |
| |, если выполняется .А так как функция при этом |
| |должна быть непрерывной в точке , то должно быть |
| |справедливо . |
| |Функция называется непрерывной в точке , если |
| |для всех положительных, сколь угодно малых ( можно указать |
| |такое положительное число , для которого выполняется |
| |неравенство для всех из отрезка . |
ТЕМА 8. Производная.
|ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЁ | |
|СВОЙСТВА И |Если отношение имеет предел при |
|ГЕОМЕТРИЧЕС-КИЙ | этот предел называют |
|СМЫСЛ. |производной функции при заданном |
| |значении и записывают |
| |. |
| |Производная функции в точке численно равна |
| |тангенсу угла, который составляет касательная к графику |
| |этой функции построенной в точке с положительным |
| |направлением с осью |
| |Из определения ясно - в случае убывающей функции |
| |производная отрицательна. Это объясняется тем, что , |
| |еслибудет отрицательным. На этом свойстве производной |
| |основано исследование поведения функции на возрастание |
| |(убывание) на заданном отрезке. |
| | |
| |Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме|
| |производных. . |
| |Производная произведения равна . |
| |Если функция имеет в точке производную и |
|ДИФФЕРЕНЦИАЛ. |функция имеет в точке производную , тогда |
| |сложная функция имеет в точке производную, |
| |равную |
| |Если имеет в точке производную, отличную от |
| |нуля, тогда в этой точке обратная функция также имеет|
| |производную и имеет место соотношение . |
| |Дифференцируя производную первого порядка, можно получить |
| |производную второго порядка, а, дифференцируя полученную |
| |функцию, получаем производную третьего порядка и т.д. |
| |Пример 1. ; ; ; ...; ; . |
| |Пример 2. ; ; ; ; . Так как |
| |, то можно предположить, что в данном случае функцию |
| |можно дифференцировать бесконечное количество раз. |
| |Пример 3. . . Как и во втором примере, эта |
| |функция дифференцируема бесконечное количество раз. |
|ПРОИЗВОДНАЯ |Пример 4. . ; ; ; … |
|ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ |; ...Как следует из приведенных примеров, разные |
| |функции ведут себя по-разному при многократном |
| |дифференцировании. Одни имеют конечное количество |
| |производных высших порядков, другие – переходят сами в |
| |себя, а третьи, хотя и дифференцируемы бесконечное |
| |количество раз, но порождают новые функции, отличные от |
| |исходной. Однако все сформулированные теоремы о производных|
| |первых порядков выполняются для производных высших |
| |порядков. |
ТЕМА 9. Экстремум функции.
|ВОЗРАСТАНИЕ |Функция называется возрастающей на некотором промежутке |
|(УБЫВАНИЕ) |, если на этом промежутке большему значению |
|ФУНКЦИЙ |независимой переменной соответствует большее значение |
| |функции, т.е. если и , то выполняется |
| |. |
| |Функция называется убывающей на некотором промежутке ,|
| |если на этом промежутке большему значению независимой |
| |переменной соответствует меньшее значение функции, т.е. |
| |если и , , то . |
| |Если функция определима и непрерывна на некотором отрезке |
| | и на концах отрезка имеет знак, то на указанном |
| |отрезке эта функция имеет по крайне мере хотя бы одну |
| |точку, в которой . |
| | |
| |Функция достигает своего максимума в точке , |
| |если ее значение в окрестности этой точки меньше, чем |
|ЭКСТРЕМУМ |значение функции в этой же точке . |
|ФУНКЦИИ |Функция достигает своего минимума в точке , если|
| |ее значение в окрестности этой точки больше, чем значение |
| |функции в этой же точке . |
| |Правило поиска экстремальных точек |
| |1. Находим область определения функции . |
| |2. Находим производную функции . |
| |3. Определяем критические точки по ее первой |
| |производной. |
| |4. Исследуем на знак слева и справа от найденных |
| |точек. |
| |5. Если слева от точки , а справа , то тогда |
| |говорят, что точка является точкой максимума. |
| |6. Если слева от точки , а справа , то тогда |
| |говорят, что точка является точкой минимума. |
| |7. Если слева и справа от критической точки не меняет|
| |знак, то говорят, что является точкой перегиба |
| |функции. |
| |Если функции и непрерывны при , где –|
| |некоторое положительное число, отличное от нуля и |
| |достаточно маленькое, и имеют непрерывные производные в |
| |указанной точке, а также не обращается в нуль при |
| |вычитании указанных условий, тогда можно сформулировать |
| |следующую теорему. |
|ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ|Теорема Коши. Если при соблюдении предположений |
| |относительно функций и отношение |
| |стремится к некоторому числу при , то тогда к такому |
| |же числу будет стремиться отношение функций . |
| |Эта теорема позволяет формулировать правило Лопиталя. При |
| |раскрытии неопределенности вида можно функцию |
| |числителя и знаменателя заменить их |
| |производными и , соответственно, и |
| |рассматривать предел вместо в указанной точке. |
ТЕМА 10
| | |
ТЕМА 11
| | |
ТЕМА 12
| | |
ТЕМА 13
| | |
ТЕМА 14
| | |
ТЕМА 15
| | |
-----------------------
M
(
K
n
(
(
(
0
z
y
x
x+(x
x
????????????????????????????????????????????x
y
C
(
B
A
(f
(x
