Адаптивная система компенсации неизвестного запаздывания .

 БЫСТРОДЕЙСТВУЮЩИЙ АДАПТИВНЫЙ НАБЛЮДАТЕЛЬ В СИСТЕМЕ КОМПЕНСАЦИИ НЕИЗВЕСТНОГО
                                ЗАПАЗДЫВАНИЯ

                             А.В. Старосельский
        Московский Государственный Институт Электроники и Математики,
                   Москва, Россия, E-mail: star99@mail.ru


    Настоящая работа посвящена построению системы  компенсации  неизвестного
запаздывания. Наличие большого запаздывания, как известно [1],  отрицательно
сказывается на работоспособности системы управления.
    Для  компенсации  неизвестного   запаздывания   разработана   адаптивная
система,   состоящая   из   быстродействующего   адаптивного    наблюдателя,
вычисляющего  оценки   неизвестных   параметров   и   запаздывания   системы
управления, и прогнозатора Смита, компенсирующего это запаздывание.
    Центральным    моментом    работы    является    построение    алгоритма
быстродействующего  адаптивного  наблюдателя  для  оценивания   неизвестного
запаздывания, так как прогнозатор Смита применим лишь в тех  случаях,  когда
запаздывание  априори  известно.  Этот  алгоритм  основан  на  использовании
метода настраиваемой модели. Суть алгоритма изложена ниже.
    Пусть  поведение  интересующего  нас   объекта   описывается   следующим
дифференциальным уравнением:
                             ,                                      (1)
                                ; 
    Здесь  a1=3,  a0=2  -  известные  постоянные   коэффициенты;      -
неизвестные постоянные. Тогда структурная  схема  соответствующего  процесса
управления будет иметь вид,  представленный  на  рис.  1.  Здесь  приборному
измерению доступны вход xd(t) и выход x(t) системы управления.
    Построим  быстродействующий  адаптивный  наблюдатель  для  идентификации
неизвестных  параметров  системы  ,  а  также  прогнозатор  Смита   для
компенсации запаздывания ,  после  чего  будем  подставлять  получаемые
наблюдателем оценки  в прогнозатор.

                                     

                  –



     Рис 1. Система управления для объекта с неизвестным запаздыванием.



                                                                      

                         y(t)


      v(t)
                         –
                       
              +

           –
                                                         
           –



      Рис. 2. Адаптивная система компенсации неизвестного запаздывания.


    На  каждом  из  подынтервалов  времени   функционирования   системы   Jj
настраиваемую модель опишем следующими уравнениями:
                                                               (2)
                                   ,
    где  - параметры модели, настраиваемые соответственно на  параметры
 объекта (1).
    Введем ошибку e(t) = x(t) - y(t).
    Конечная структурная схема системы управления с адаптивным  наблюдателем
и прогнозатором Смита показана на рис. 2.
    Система уравнений  для  выходного  сигнала  прогнозатора  Смита  v(t)  и
входного сигнала объекта, прогнозатора и наблюдателя u(t):
                                    
    Уравнение для ошибки e(t)  будет  иметь  вид  (вычитаем  (2)  из  (1)  и
линеаризуем правую часть):
                              ,                                     (3)
где  
    Приведем (3) к системе уравнений первого порядка. Положим
                                    
                                    
Тогда в векторной форме уравнение (3) будет иметь вид
                 +                              (4)
или в краткой форме
                                   ,
где , , A=, Z= .
    Решением (4) будет
                                                (5)
или в краткой форме
                                    
где Ф(t)= , R(t)=  - решения уравнений
                                                                    (6)
                                            .                       (7)
    Перепишем первую строку системы (5) в виде
                                                                    (8)
где
                                    
                                    
                                   .
Здесь w(t) и  - известные величины для  любого  t;  вектор  (  содержит
неизвестные  параметры  объекта,  а  векторы  (j  (j=0,l,...,N-l)   являются
функциями перестраиваемых параметров эталонной модели .
    Набирая  данные  на  каждом  из  подынтервалов  Jj  в  моменты   времени
tj1,...,tjm, образуем из (8) алгебраическую систему вида
                                    
или в матричной форме
                                                                    (9)
    Число m выбирается так, чтобы уравнений  в  (9)  было  не  меньше  числа
неизвестных параметров. В данном случае m больше или равно 3.
    Решение алгебраической системы (9) при этом записывается в виде
                                                                   (10)
где  - псевдообратная матрица.
    Изменение  параметров  (j  при  переходе  от  подынтервала  Jj  к   Jj+1
осуществляется по рекуррентной формуле
                       ,                                           (11)
где (=diag((1,....,(3) - вещественная диагональная матрица, все числа  (i>0.
Можно  показать  [2],  что  этот  процесс  перестройки  параметров  сходится
экспоненциально,  т.е.  значения  перестраиваемых  параметров  модели  
сходятся к значениям неизвестных параметров объекта .
    Таким образом, для того, чтобы идентифицировать  постоянные  неизвестные
параметры   объекта  (1),  параметры  настраиваемой  модели  (2)  
следует изменять с помощью алгоритма, который описывается  уравнениями  (6)-
(11).
    Было проведено численное моделирование  этой  системы  на  ЭВМ  в  среде
MATLAB   5.2.   Результаты    компьютерного    моделирования    подтверждают
эффективность разработанного алгоритма.
    Предлагаемый  алгоритм  адаптивного  наблюдателя  обладает  важными  для
практики  свойствами:  заданной  длительностью   переходного   процесса   по
параметрам  и  запаздыванию;  отсутствием   взаимного   влияния   переходных
процессов  настройки  в  разных  параметрических  каналах   и   практической
независимостью времени переходных процессов по параметрам и запаздыванию  от
изменения амплитуды входных и выходных сигналов.


                                 Литература

    [1] Гурецкий X. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием.  Пер.
с польского. - М.: Машиностроение, 1974.
    [2]  Копысов  О.Ю.,  Прокопов  Б.И.  Построение  алгоритма   перестройки
параметров и запаздывания в методе настраиваемой модели. М.: МГИЭМ, 1999.
-----------------------
u(t)

r(t)

xd(t)

x(t)

       Блок
   настройки
  параметров

Адаптивный наблюдатель

Прогнозатор Смита

e(t)



xd(t)

          Адаптивная система компенсации неизвестного запаздывания

x(t)

u(t)

r(t)