На Главную

ГДЗ: Английский язык       Алгебра       Геометрия       Физика       Химия       Русский язык       Немецкий язык

Подготовка к экзаменам (ЕГЭ)       Программы и пособия       Краткое содержание       Онлайн учебники
Шпаргалки       Рефераты       Сочинения       Энциклопедии       Топики с переводами

Все темы:"Рефераты по Математике"

Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром .

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с
параметром.

(алгебра и начала анализа)

Исполнитель: Зырянов Р.Б.

Руководитель: Попова Н.Б.

Екатеринбург 1998

Оглавление

I. Введение

II. Уравнения с параметрами.
(1. Определения.
(2. Алгоритм решения.
(3. Примеры.

III. Неравенства с параметрами.
(1. Определения.
(2. Алгоритм решения.
(3. Примеры.

IV. Список литературы.

V. Приложения.

Введение

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей
часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают
в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые
часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению.
В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса
математики рассматривается только на немногочисленных факультативных
занятиях.
Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы,
выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На
мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения
уравнений и неравенств с параметрами.
В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений,
неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в
процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении
а ВУЗ.

(1. Основные определения

Рассмотрим уравнение
((a, b, c, …, (, x)=((a, b, c, …, (, x), (1)
где a, b, c, …, (, x -переменные величины.
Любая система значений переменных
а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,
при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные
значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, (,
x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех
допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х,
т.е. а(А, b(B, …, x(X. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и
зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, ( и подставить
их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с
одним неизвестным.
Переменные a, b, c, …, (, которые при решении уравнения считаются
постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется
уравнением, содержащим параметры.
Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d,
…, (, l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.
Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях
параметров существуют решения и каковы они.
Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются
равносильными, если:
а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;
б) каждое решение первого уравнения является решением второго и
наоборот.

(2. Алгоритм решения.

Находим область определения уравнения.
Выражаем a как функцию от х.
В системе координат хОа строим график функции а=((х) для тех значений х,
которые входят в область определения данного уравнения.
Находим точки пересечения прямой а=с, где с((-(;+() с графиком функции
а=((х).Если прямая а=с пересекает график а=((х), то определяем абсциссы
точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=((х)
относительно х.
Записываем ответ.

(3. Примеры

I. Решить уравнение

(1)

Решение.
Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить
уравнение относительно а :
или

График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений
исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной
линии и прямой у=а.
Если а ( (-(;-1]((1;+()( , то прямая у=а пересекает график
уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении
уравнения относительно х.
Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение .

Если а ( , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух
точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и ,
получаем
и .
Если а ( , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1),
следовательно решений нет.

Ответ:
Если а ( (-(;-1]((1;+()(, то ;
Если а ( , то , ;
Если а ( , то решений нет.

II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет три
различных корня.

Решение.
Переписав уравнение в виде и рассмотрев пару функций

, можно заметить, что искомые значения
параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика
функции , при которых он имеет точно три точки пересечения с
графиком функции .
В системе координат хОу построим график функции ). Для этого можно
представить её в виде и, рассмотрев четыре возникающих случая,
запишем эту функцию в виде

Поскольку график функции – это прямая, имеющая угол наклона к
оси Ох, равный , и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 ,
а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в
случае, когда эта прямая касается графика функции . Поэтому находим
производную
Ответ: .

III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система
уравнений

имеет решения.

Решение.
Из первого уравнения системы получим при Следовательно, это
уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы
“скользят” вершинами по оси абсцисс.
Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её
на множители

Множеством точек плоскости , удовлетворяющих второму уравнению,
являются две прямые
и
Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства
“полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.
Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В
(точка В соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается
прямой ), то рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если
вершина “полупараболы” совпадает с точкой А, то .
Случай касания “полупараболы” с прямой определим из условия
существования единственного решения системы

В этом случае уравнение

имеет один корень, откуда находим :

Следовательно, исходная система не имеет решений при , а при
или имеет хотя бы одно решение.
Ответ: а ( (-(;-3] ((;+().

IV. Решить уравнение

Решение.
Использовав равенство , заданное уравнение перепишем в виде

Это уравнение равносильно системе

Уравнение перепишем в виде
. (*)
Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические
соображения. Построим графики функций и Из графика следует,
что при графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет
решений.
Если , то при графики функций совпадают и, следовательно,
все значения являются решениями уравнения (*).
При графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой .
Таким образом, при уравнение (*) имеет единственное решение - .

Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения
(*) будут удовлетворять условиям

Пусть , тогда . Система примет вид

Её решением будет промежуток х( (1;5). Учитывая, что , можно
заключить, что при исходному уравнению удовлетворяют все значения х
из промежутка [3; 5).
Рассмотрим случай, когда . Система неравенств примет вид

Решив эту систему, найдем а( (-1;7). Но , поэтому при а( (3;7)
исходное уравнение имеет единственное решение .
Ответ:
если а( (-(;3), то решений нет;
если а=3, то х( [3;5);
если a( (3;7), то ;
если a( [7;((), то решений нет.

V. Решить уравнение
, где а - параметр. (5)

Решение.
1. При любом а :
2. Если , то ;
если , то .
3. Строим график функции , выделяем ту его часть , которая
соответствует . Затем отметим ту часть графика функции ,
которая соответствует .
4. По графику определяем, при каких значениях а уравнение (5) имеет
решение и при каких – не имеет решения.

Ответ:
если , то
если , то ;
если , то решений нет;
если , то , .
VI. Каким условиям должны удовлетворять те значения параметров и
, при которых системы
(1)
и
(2)
имеют одинаковое число решений ?

Решение.
С учетом того, что имеет смысл только при , получаем после
преобразований систему
(3)
равносильную системе (1).
Система (2) равносильна системе
(4)
Первое уравнение системы (4) задает в плоскости хОу семейство прямых,
второе уравнение задает семейство концентрических окружностей с центром в
точке А(1;1) и радиусом
Поскольку , а , то , и, следовательно, система (4) имеет
не менее четырех решений. При окружность касается прямой и
система (4) имеет пять решений.
Таким образом, если , то система (4) имеет четыре решения, если
, то таких решений будет больше, чем четыре.
Если же иметь в виду не радиусы окружностей, а сам параметр а, то
система (4) имеет четыре решения в случае, когда , и больше четырех
решений, если .
Обратимся теперь к рассмотрению системы (3). Первое уравнение этой
системы задаёт в плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в первом и
втором квадрантах. Второе уравнение системы (3) задает в плоскости хОу
семейство прямых.

При фиксированных положительных а и b система (3) может иметь два,
три, или четыре решения. Число же решений зависит от того, будет ли прямая,
заданная уравнением , иметь общие точки с гиперболой при
(прямая всегда имеет одну точку пересечения с графиком функции
).
Для решения этого рассмотрим уравнение
,
которое удобнее переписать в виде

Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D
последнего уравнения:
если , т.е. если , то система (3) имеет два решения;
если , то система (3) имеет три решения;
если , то система (3) имеет четыре решения.
Таким образом, одинаковое число решений у систем (1) и (2) – это
четыре. И это имеет место, когда .
Ответ:
II. Неравенства с параметрами.
(1. Основные определения

Неравенство
((a, b, c, …, (, x)>((a, b, c, …, (, x), (1)
где a, b, c, …, ( – параметры, а x – действительная переменная
величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим
параметры.
Любая система значений параметров а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0,
при некоторой функции
((a, b, c, …, (, x) и
((a, b, c, …, (, x
имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых
значений параметров.
называется допустимым значением х, если
((a, b, c, …, (, x) и
((a, b, c, …, (, x
принимают действительные значения при любой допустимой системе значений
параметров.
Множество всех допустимых значений х называется областью определения
неравенства (1).
Действительное число х0 называется частным решением неравенства (1),
если неравенство
((a, b, c, …, (, x0)>((a, b, c, …, (, x0)
верно при любой системе допустимых значений параметров.
Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим
решением этого неравенства.
Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров
существует общее решение и каково оно.
Два неравенства
((a, b, c, …, (, x)>((a, b, c, …, (, x) и (1)
((a, b, c, …, (, x)>((a, b, c, …, (, x) (2)
называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном
и том же множестве систем допустимых значений параметров.

(2. Алгоритм решения.

1. Находим область определения данного неравенства.
2. Сводим неравенство к уравнению.
3. Выражаем а как функцию от х.
4. В системе координат хОа строим графики функций а =( (х) для тех значений
х, которые входят в область определения данного неравенства.
5. Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.
6. Исследуем влияние параметра на результат.
1. найдём абсциссы точек пересечения графиков.
2. зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от -( до+(
7. Записываем ответ.

Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с
использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с
использованием стандартной системы координат хОy.

(3. Примеры

I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство

Решение.
В области определения параметра а, определённого системой неравенств

данное неравенство равносильно системе неравенств

Если , то решения исходного неравенства заполняют отрезок .
Ответ: , .

II. При каких значениях параметра а имеет решение система

Решение.
Найдем корни трехчлена левой части неравенства –
(*)
Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх
на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен

сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с
центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет
пересечение заштрихован

ной области с окружностью, где , а значения и находятся из
системы

а значения и находятся из системы

Решая эти системы, получаем, что

Ответ:

III. Решить неравенство на в зависимости от значений
параметра а.

Решение.
Находим область допустимых значений –
Построим график функции в системе координат хОу.
1. при неравенство решений не имеет.
2. при для решение х удовлетворяет соотношению , где

Ответ: Решения неравенства существуют при
, где , причем при решения ; при решения
.

IV. Решить неравенство

Решение.
Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)

Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего
перейдем к равенству :

Разложим числитель на множители.

т. к. то

Разделим обе части равенства на при . Но является
решением : левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при .

3. Строим в ПСК хОа графики функций

и нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять
областей.
4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего
берем точку из области и подставляем в неравенство.
Для наглядности составим таблицу.
|( |точка |неравенство: |вывод |
|1 | | |- |
|2 | | |+ |
|3 | | |- |
|4 | | |+ |
|5 | | |- |
|6 | | |+ |
|7 | | |- |
|8 | | |+ |
|9 | | |- |

5. Найдем точки пересечения графиков

6. Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от -( до +(.

Ответ.
при
при
при
при решений нет
при

Литература

1. Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа -
Пресс”. Москва 1996 г.
1. Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных
экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск
1995 г.
1. Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”.
Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.
1. Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство
“Айрис”. Москва 1996 г.
1. Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”.
Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.
1. Г. Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука”
физико–математическая литература. Москва 1977 г.
1. Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство
“Асар”. Минск 1996 г.