Математическая теория захватывания .

                          Введение и краткое резюме

      Настоящая работа посвящена исследованию движений автоколебаний системы
с одной степенью свободы под действием  внешней  периодической  силы.  Такие
движения представляют интерес для радиотелеграфии (например, к  исследованию
таких  движений  сводится  теория   регенеративного   приемника).   Особенно
замечательно здесь явления  так  называемого  "захватывания".   Это  явление
заключается в том, что,  когда  период  внешней  силы  достаточно  близок  к
периоду  автоколебаний  системы,  биения  пропадают;  внешняя  сила  как  бы
"захватывает"   автоколебания.  Колебания  системы  начинают  совершаться  с
периодом внешнего сигнала,  хотя  их  амплитуда  весьма  сильно  зависит  от
амплитуды "исчезнувших"  автоколебаний.  Интервал  захватывания  зависит  от
интенсивности сигнала и от автоколебательной системы.
      Теоретически этот вопрос уже разбирался, однако методами математически
недостаточно строгими; кроме того, бралась  характеристика  весьма  частного
вида  -  кубическая  парабола.  Поэтому  мы  будем  рассматривать     случай
произвольной характеристики при колебаниях близких к синусоидальных.
      В этой работе мы рассмотрим периодические решения с  периодом,  равным
периоду внешней силы, и их устойчивость при малых отклонениях. Мы оставим  в
стороне другие  стационарные  движения,  возможные  в  исследуемой  системы,
например периодические решения с периодом,  кратным  периоду  внешней  силе,
или квазипериодические решения.  Мы  оставим  в  стороне  важный  вопрос  об
устойчивости при больших отклонениях
      Для отыскания периодических решений  воспользуемся  методом  Пуанкаре,
которые позволяют быстро решить  задачу  для  случая  колебаний,  достаточно
близких к синусоидальным. С этой целью введем в наше  уравнение  параметр  (
таким образом,  чтобы  при  (  =  0  уравнение  превращалось  в  линейное  и
колебания  делались   синусоидальными.   Этот   параметр   (,   который   мы
предполагать достаточно малым, может иметь различный смысл в зависимости  от
выбора системы.
      Для решения вопроса  об  устойчивости  найденного  решения  при  малых
отклонениях воспользуемся методами Ляпунова, требуя, чтобы  искомые  решения
обладали "устойчивостью по Ляпунову".
      В настоящей работе мы не будем вычислять радиусы сходимости тех рядов,
   с которыми нам придется иметь дело; грубая оценка может быть  сделана  по
Пуанкаре.
      В § 1 и 2 рассматривается область достаточно сильной расстройки; § 3 и
4 посвящены рассмотрению области резонанса; в § 5  показывается,  как  общие
формулы для амплитуд и для устойчивости, полученные в §  1-  4,  могут  быть
применены в конкретных случаях, причем в  качестве  примера  рассматривается
случай Ван дер Поля. Результаты применения общих формул  совпадают  с  теми,
которые получил нестрогим путем Ван дер Поль.

      § 1 Отыскание периодического решения в случае достаточно сильной
                                 расстройки.
Уравнение, которое нас будет интересовать:




При ( = 0 это уравнение имеет единственное периодическое решение


Рассмотрим случай, когда   ( бесконечно мало.  Согласно  Пуанкаре  мы  будем
искать решение (1) в следующем виде:

Начальные условия  выберем так:

F2 - степенной ряд по (1  (2,  (  начинающийся  с  членов  второго  порядка.
Подставим (3) в (1):


Сравнивая коэффициенты при    (1 (2, (   получим  уравнение  для  А,  В,  С.
Начальные условия можно получить для них, подставив (4) в (3).



Решая задачи Коши, получим:



Для  того,  чтобы  (3)  представляли  периодические  решения  необходимо   и
достаточно, чтобы 



Введем обозначения  ; для остальных функций аналогично.
Тогда (6) запишется в виде:



Если в этой системе можно (1 (2  представить в виде функции   (  так,  чтобы
(1 (2, ( исчезли из системы (7) , то (3) - периодическое  решение  уравнения
(1).  Иначе   Х-   не   периодично.   Достаточным   условием   существования
периодического решения при малых  ( служит неравенство 0 Якобиана.



В нашем случае: 
Т.е. мы всегда имеем периодические решения при малых  ( и любых  f.  Искомое
периодическое решение может быть найдено в виде.




            § 2 Исследование устойчивости периодического решения

Составим уравнения первого приближения, порождаемое  решением  (8).  Сделаем
замену: x = Ф(t) + ( ; в уравнении (1) при этом отбросим члены ,  содержащие
квадраты и высшие степени (  и ('.



Воспользуемся тем фактом, что Ф (t) - решение уравнения.  Получим  уравнение
первого приближения:



Это линейное дифференциальное  уравнение  с  периодическими  коэффициентами.
Его решение  мы  будем  искать  в  виде      функции  времени
Удовлетворяют тому же уравнению, что и  (, то есть (10).  Начальные  условия
для них определены следующим образом.
; аналогичным образом можно показать, что   (11).
Представим правую часть уравнения в виде степенного ряда по  (.



будем искать в виде:    (12).
Подставим (12) в (10) и сравнивая коэффициенты при соответствующих  степенях
(, получим:


Начальные условия для Ао , Во, …. Следует  выбрать  так,  чтобы  выполнялись
условия (11). Действительно подставляя (11) в (12) и сравнивая  коэффициенты
при соответствующих степенях (, получим


Для В'о и Во аналогично. Для остальных  же как видно  из  уравнений  условия
будут нулевые. Итак:

(14)

Решение (13) можно найти при помощи квадратур:

(15)

Если   вспомнить   общую   теорию   линейных   диффуров   с   периодическими
коэффициентами, то общее решение (10) имеет вид:



S1, S2 - периодические функции с тем же периодом, что и  Ф  (t).  (1,  (2  -
характеристические показатели.
Если все     , т.е. колебания затухают, то в  этом  случае  выполняется
теорема, доказанная Ляпуновым, относительно того, что периодическое  решение
уравнения  первого   приближения   вполне   устойчиво.   Согласно   Пуанкаре
характеристические показатели можно определить из следующего уравнения:


=0 (16)  Полагаем  ;




Тогда определитель будет:



Вопрос об устойчивости, как сказано выше, решается знаком Re ((),   или  что
все равно ( (( . Если ( (( < 1 имеет место  устойчивость  (  ((   =  1  этот
случай для нашей задачи не  представляет  интереса.  (  ((>  1  имеет  место
неустойчивость.
При рассмотрении (18) имеют место 2 случая q > р2; q < р2; В  первом  случае
(-комплексные; ((2 (=q; (20) если q<1; устойчивость q>1 - неустойчивость.
Случай второй - ( - действительные:  ; (21) устойчивость  соответствует
 p и q нетрудно получить в виде рядов  по  степени  (  из  формул  (19)
(12).

(22)
Если принять во внимание (15)

(22a)

(23)

Мы видим, что при достаточно малом ( и ((n; n (  Z  вопрос  об  устойчивости
решается величиной  q  и следовательно знаком b, если b  <  0-  имеет  место
устойчивость, b > 0 - неустойчивость.
В нашем случае b имеет вид:
     (23a)

          § 3 Отыскание периодического решения в области резонанса.
Тогда ((((о; (2 = 1+ aо (, (24) (aо , ( - расстройка ,  реальный  физический
резонанс наступает при aо ( 0).
Тогда исследуемое уравнение имеет вид :

 (25)

При ( = 0 периодическое решение будет иметь вид : (26)
Следуя Пуанкаре, мы можем предположить периодическое решение в виде:

 (27);

Начальные условия возьмем как и раньше:



Аналогично тому, как мы это  делали  в  предыдущих  параграфах.  Подставляем
(27) в (25) и, сравнивая  коэффициенты при (1 (2, (  и  других  интересующих
нас величинах, получим уравнение, которым удовлетворяет A, B, C,  D,  E,  F.
Начальные условия для этих уравнений определим, если подставим (28) в (27).

 (29)

Запишем условия периодичности для (27):


Делим на (:

   ( 30a )

Необходимым условием существования периодического решения является:

Эти уравнения  определяют  P  и  Q  решения  (26),  в  близости  к  которому
устанавливается периодическое решение. Они могут быть записаны  в  раскрытой
форме :



(31)

Для существования искомого периодического решения достаточно  неравенство  0
детерминанта: (см. § 1).



D, Е и их производные найдутся из (29) при помощи формул  аналогичных  (15).
Заметим, что (30) мы можем определить  (1, (2, в виде рядов по  степеням  (.
Таким образом, мы можем (27) как и в § 1 представить в виде ряда.

(33)

P,Q-определяются формулами (31) (32).



   § 4 Исследование устойчивости периодических решений в области резонанса

Аналогично тому, как мы  это  делали  в  §  2,  составим  уравнение  первого
приближения, порожденное решением (33).



Решение  опять  будем  искать  в  виде  .  Однако   нет   необходимости
проделывать все выкладки заново. Воспользуемся результатами § 2, приняв:
   
Из формул (22)     (34) , тогда  ( - тот же  Якобиан,  что  и
(32). Распишем его:



 (36)

;
Тогда, зная функцию f, мы можем вычислить  ( в виде функции  P, Q и aо.
Заметим, что равенство (23 а) в нашем случае имеет вид:

 ;  (37)

Опираясь на результаты исследования, полученных в  §  2,  нужно  рассмотреть
при исследовании устойчивости два случая: (при достаточно малых ()

1)  p2 - q < 0  
2)  p2 - q > 0  
В первом случае устойчивость характеризуется условием q < 1 или, что  то  же
самое b < 0.
Во втором случае  (*) последнее может быть выполнено только, если  b  <
0, а  ( > 0. Нетрудно видеть, что необходимым достаточным условием  в  обоих
случаях является b < 0,   ( > 0. (Это можно получить из неравенства (*) ).



  § 5 Применение общих формул, полученных в предыдущих параграфах, к теории
 захватывания в регенеративном приемнике для случая, когда характеристика -
                            кубическая парабола.
Мы рассмотрим простой регенеративный приемник  с  колебательным  контуром  в
цепи сетки, на который действует внешняя сила Ро sin (1 t.
Дифференциальное уравнение колебаний данного контура следующее:
  (39)
Считая, что анодный ток зависит только от  сеточного  напряжения,  а  также,
что характеристикой является кубическая парабола:
(40)
S-крутизна характеристики, К - напряжение насыщения  .
Далее, вводя обозначения: 

Получим дифференциальное уравнение для х:
   (41)

А: (случай далекий от резонанса).
Для него применяем результаты § 1, полагая.
Исходное решение в не посредственной близости,  к  которому  устанавливается
искомое решение следующее:

Если ( > 1, т.е. (о > (1, то разность фаз равна 0, если  ( < 1, то  разность
фаз равна (. В этом отношении все происходит  в  первом  приближении  также,
как и при обычном линейном резонансе. Устойчивость определяется знаком b  (b
< 0).

(42).
Т.е. те решения, для которых выполняется это условие, устойчивы.

В:  (область резонанса , § 3, 4).
В качестве исходного периодического решения, в непосредственной  близости  к
которому устанавливается искомое, будет решение следующего вида: x =  P  sin
t + Q cos t    (P, Q - const).
Запишем уравнение, определяющее эти P и Q, т.е. соотношение (31) для  нашего
случая.



Или преобразовав их, получим следующее:



Полагая Р = R sin (; Q = R cos (. Далее найдем для амплитуды R и фазы (  для
того   исходного   периодического   решения,    в   близости    к   которому
устанавливается  рассматриваемое   периодическое   решение   ,   соотношения
связывающие их :


Первая формула дает "резонансную поверхность" для амплитуды.  Вторая  -  для
фазы. По (38) условия устойчивости имеют вид b < 0,   ( > 0. Считаем b  и  (
через формулы (35-37).

                                    (46)



Т.е. решение является устойчивым,  если  удовлетворяется  условие  (**).   В
заключение выпишем формулы для  вычисления  aо,  соответствующего     ширине
захватывания для рассматриваемого случая.

1) 
a0 - является общим корнем уравнений
 

2) 

Сама ширина  ((,  отсчитанная  от  одной  границы  захватывания   до  другой
выражается следующим образом: (( = aо (2о (MS - c  r).  Можно  дать  простые
формулы для вычисления ширины захватывания в следующих случаях:
а) (2о << 1;   (( = (о Ро/Vоg.
б) для очень сильных сигналов   ( Vоg - амплитуда сеточного  напряжения
при отсутствии внешней силы).



                              Список литературы
1. Андронов А.А. Собрание трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956.
2. Андронов А.А., Витт А. К теории захватывания Ван  дер  Поля.  .  Собрание
   трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956.
3. Ляпунов А. Общая задача об устойчивости движения, Харьков, 1892.
-----------------------