Теорема Штольца .

Содержание работы:

1. Формулировка и доказательство теоремы Штольца.
2. Применение теоремы Штольца:
a) ;
b) нахождение предела «среднего арифметического» первых n значений
варианты ;
c) ;
d) .

3. Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения
последовательностей.
4. Нахождение некоторых пределов отношения функций с помощью теоремы
Штольца.

Для определения пределов неопределенных выражений типа
часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу.
Пусть варианта , причем – хотя бы начиная с некоторого листа – с
возрастанием n и возрастает: . Тогда =,
Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).
Допустим, что этот предел равен конечному числу :
.
Тогда по любому заданному найдется такой номер N, что для n>N будет

или
.
Значит, какое бы n>N ни взять, все дроби , , …, ,
лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду
возрастания yn вместе с номером n, положительны, то между теми же
границами содержится и дробь , числитель которой есть сумма всех
числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех
знаменателей. Итак, при n>N
.

Напишем теперь тождество:

откуда

.
Второе слагаемое справа при n>N становится <; первое же слагаемое,
ввиду того, что , также будет <, скажем, для n>N’. Если при
этом взять N’>N, то для n>N’, очевидно, , что и доказывает наше
утверждение.

Примеры:
1. Пусть, например, . Отсюда, прежде всего вытекает, что (для
достаточно больших n) , следовательно, вместе с yn и xn,
причем варианта xn возрастает с возрастанием номера n. В таком случае,
доказанную теорему можно применить к обратному отношению

(ибо здесь предел уже конечен), откуда и следует, что , что и
требовалось доказать.

2. При а>1

Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу:

3. Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного
предложения:
Если варианта anимеет предел (конечный или бесконечный), то этот
же предел имеет и варианта

(“среднее арифметическое” первых n значений варианты аn).
Действительно, полагая в теореме Штольца
Xn=a1+a2+…+an, yn=n,
Имеем:

Например, если мы знаем, что ,
то и

4. Рассмотрим теперь варианту (считая k-натуральным)
,
которая представляет неопределённость вида .
Полагая в теореме Штольца
xn=1k+2k+…+nk, yn=nk+1,
будем иметь
.
Но
(n-1)k+1=nk+1-(k+1)nk+… ,
так что
nk+1-(n-1)k+1=(k+1)nk+…
и
.

5. Определим предел варианты
,
представляющей в первой форме неопределенность вида , а во второй –
вида . Произведя вычитание дробей, получим на этот раз
неопределенное выражение вида :
.
Полагая xn равным числителю этой дроби, а yn – знаменателю, применим еще
раз ту же теорему. Получим
.
Но ,
а ,
так что, окончательно,
.

Пример 1.
====== ===.

Пример 2.
=
==
==
==
==
==
=.

Пример 3.

=
=.

Теорема Штольца справедлива для последовательностей, но т.к.
последовательности есть частный случай функций, то эту теорему можно
обобщить для функций.

Теорема.
Пусть функция , причем, начиная с некоторой xk, g(xk+1)>g(xk),
т.е. функция возрастающая.

Тогда ,
если только существует предел справа конечный или бесконечный.
Доказательство:
Допустим, что этот предел равен конечному числу k
.
Тогда, по определению предела

или
.
Значит, какой бы ни взять, все дроби
, , …,
лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания
g(xn) вместе с x(n), положительны, то между теми же границами содержится
и дробь , числитель которой есть сумма всех числителей, написанных
выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при
.
Напишем тождество(которое легко проверить):
,

Откуда

.
Второе слагаемое справа при становится ; первое же
слагаемое, ввиду того, что , так же будет , скажем, для .
Если при этом взять , то для , очевидно , что и доказывает
теорему.

Примеры:

Найти следующие пределы:

1. очевидна неопределенность
===2

2. неопределенность
====0

3. неопределенность
===

Литература:

“Задачи и упражнения по математическому анализу” под редакцией
Б.П.Демидовича. Издательство “Наука”, Москва 1996г.
Г.М.Фихтенгольц “Курс дифференциального и интегрального исчисления”
Физматгиз 1962г. Москва.