На Главную

ГДЗ: Английский язык       Алгебра       Геометрия       Физика       Химия       Русский язык       Немецкий язык

Подготовка к экзаменам (ЕГЭ)       Программы и пособия       Краткое содержание       Онлайн учебники
Шпаргалки       Рефераты       Сочинения       Энциклопедии       Топики с переводами

Все темы:"Рефераты по Математике"

Первая краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области .

Введение 3

1.Постановка задачи 3

2. Оценочный анализ решения задачи. 4

2.1. Оценка решения сверху. 4

2.2. Оценка решения в виде интеграла 5

2.3. Выбор интервала ( ) и оценка погрешности 8
3. Формулировка результата в виде теоремы 10
4. Примеры 11

Заключение 12

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 13

Введение

В ряде случаев оказывается невозможным или неприемлемым получение
аналитического решения поставленной задачи. Использование основных теорем и
положений анализа позволяет получить качественную картину поведения
функции решения в заданной области, оценить скорость сходимости решения.
Такой подход широко реализуется в областях техники, где получение
результата необходимо с заданной точностью.

1.Постановка задачи

В дипломной работе рассматривается задача:

(З)

0.
t
x

Требуется привести пример оценки решения задачи (З) в области
, и исследовать полученную оценку при

2. Оценочный анализ решения задачи.

Оценка решения задачи (З) основывается на принципе максимума для
уравнения теплопроводности : «Всякое решение уравнения в
прямоугольнике , непрерывное вплоть до границы, принимает свои
наибольшее и наименьшее значения на нижних или на боковых его границах»
[2].

2.1. Оценка решения сверху.

В области t=t , x= рассмотрим решение задачи :

, V(0,x) = ( x ), x , (1)

это решение имеет вид [1]:

v (t, x) = . (2)

Зафиксируем некоторое и перейдем к исходной системе координат, тогда
(2) в системе t=t, x= будет выглядеть так:
V(t, x) = (2’)
Из принципа максимума [2] заключаем, что:

U( t, x ) V( t, x ). (3)

Таким образом задача сводится к оценке интеграла (2).

2.2. Оценка решения в виде интеграла

Разобьем интервал < x на две части и ,
тогда интеграл (2’) запишется в виде:
V( t, x ) = . (*)

Исследуем знак подинтегрального выражения, принимая во внимание, то
что :

; (а)

;

где .

После проведенного исследования видно, что

Использовав известное разложение ,
где Z 0, , заменим экспоненты во втором интеграле рядами:

(а) ;

(б) .

В результате получим :

Здесь:

, , (4.1)

, . (4.2)

Запишем неравенство (3) в виде, принимая во внимание только одно слагаемое
суммы ряда:

m=1,

U(t, x) . (5)

Выше приведенная оценка не отражает качественной картины и может быть
использована при дальнейших исследованиях задач подобного вида. ( т .к
.фиксированно)
Рассмотрим другую возможность оценки неравенства (3).

пусть
(т.е. финитна), в соответствии с принципом максимума:

, (3’)
при
где W- решение краевой задачи (З) с начальными условиями:

Аналогично, как и выше

здесь:

Таким образом,

(используем разложение в ряд Тейлора)

В итоге,

(5.1)
Рассмотрим два случая:
а) Пусть
,
тогда в правой части неравенства (5.1) третье и четвертое (3,4) слагаемые
стремятся к нулю быстрее любой степени ,
поэтому (5.1) можно переписать как:
(5.2)
б) Пусть тогда:

где
В результате получаем:
(5.3)

2.3. Выбор интервала ( ) и оценка погрешности

Зададим произвольно некоторую константу >0, потребовав чтобы в
(5)
<.
при .
Неравенство (5) можно только усилить, если
< (6)

Рассмотрим общий вид :

; (7)
, (7.1)
b=x ( k=1 ) , b=2(k=2) оценка (7.1) эквивалентна системе
неравенств:

откуда:
. (8)

Т. к. в работе исследуется поведение неравенства (3) при то
принимаем что для некоторого :

. (9)

3. Формулировка результата в виде теоремы

Обобщая результаты всей работы в целом можно сформулировать следующие
теоремы:

1. Пусть для уравнения теплопроводности имеет место задача
(З)
- гладкая, непрерывно - дифференцируемая функция на ,а функция
ограничена на R : .
Тогда для любого сколь малого числа можно указать число
,
такое что имеет место следующая оценка «сверху» решения задачи (З):

Раскрыв квадратные скобки, получим:

2. Пусть в имеет место задача (З), - монотонная, неограниченная,
возрастающая функция, тогда:
3) если , то

2) если то

Замечанние:видно, что оценку полученную в теореме 2 можно получить и при
более слабых ограничениях

4. Примеры

Пусть ,

b) .

Заключение

В дипломной работе произведена оценка решения «сверху» для уравнения
теплопроводности с движущей границей по заданному закону. Аналогично, можно
получить оценку решения «снизу». Для этого нужно рассмотреть ступенчатую
область, в которой для каждой ступеньки решение может быть получено
согласно 2.1 (2) . Число таких ступенчатых областей необходимо выбрать
таким образом, чтобы оценка полученная снизу была сравнима с полученной
выше оценкой.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения математической физики. Изд.
«Наука», М. 1966 (с. 230 -233);
2. С. К. Годунов, Уравнения математической физики. Изд. «Наука», М. 1973 .
33-34);
3. Л. Д. Кудрявцев, Краткий курс математического анализа. Изд. «Наука», М.
1989.