На Главную

ГДЗ: Английский язык       Алгебра       Геометрия       Физика       Химия       Русский язык       Немецкий язык

Подготовка к экзаменам (ЕГЭ)       Программы и пособия       Краткое содержание       Онлайн учебники
Шпаргалки       Рефераты       Сочинения       Энциклопедии       Топики с переводами

Все темы:"Рефераты по Математике"

Высшая математика .

Государственный университет управления

Институт заочного обучения
Специальность – менеджмент

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине: Высшая математика.

Вариант № 1.

Выполнил студент Ганин Д.Ю.
Студенческий билет № 1211
Группа № УП4-1-98/2

Москва, 1999 г.

Содержание

Часть I. 3

Задание №2. Вопрос №9. 3

Задание №3. Вопрос №1. 3

Задание №12. Вопрос №9. 5

Задание №13. Вопрос №2. 5

Задание №18. Вопрос №9 6

Часть II. 9

Задание №8. Вопрос №8. 9

Задание №12. Вопрос №9. 10

Задание №14. Вопрос №2. 10

Задание №15. Вопрос №6. 11

Задание №18. Вопрос №9. 12

Дополнительно Часть I. 13

Задание №7. Вопрос №1. 13

Задание №9. Вопрос №8. 13

Задание №11. Вопрос №6. 14

Задание №15. Вопрос №1. 15

Дополнительно Часть II. 15

Задание №7. Вопрос №1. 15

Задание №9. Вопрос №8. 16

Задание №11. Вопрос №6. 18

Задание №15. Вопрос №1. 18

Часть I.

Задание №2. Вопрос №9.

В штате гаража числится 54 водителя. Сколько свободных дней может
иметь каждый водитель в месяц (30 дней), если ежедневно 25% автомашин из
имеющихся 60 остаются в гараже для профилактического ремонта.

Решение:

Задание №3. Вопрос №1.

Построить график функции спроса Q=QD(P) и предложения Q=QS(P) и
найдите координаты точки равновесия, если , .

Решение:

Построим в плоскости POQ график функции спроса Q=QD(P) и предложения
Q=QS(P). Для этого найдем координаты пересечения с осями координат:

Т.к. функции QS(P) и QD(P) – линейные функции, то их графиками являются
прямые, для построения которых достаточно определить их точки пересечения с
осями координат. Они найдены, значит можно производить построение графика
(рис.1).

Найдем точку равновесия графиков функции спроса и предложения (М), в
которой спрос равен предложению. Для этого решим систему:
, из этой системы получаем:

, тогда , значит координаты т.M.

|Ответ: |Координаты точки равновесия равны , |

Задание №12. Вопрос №9.

Используя правила вычисления производных и таблицу, найдите
производные следующих функций:

Решение:

|Ответ: |Производная заданной функции равна |

Задание №13. Вопрос №2.

Используя дифференциал функции, найдите приближенное значение
|числа: | |

Решение:

|Ответ: |Приближенное значение заданного числа равно 1,975. |

Задание №18. Вопрос №9

|Исследуйте функцию и постройте ее график: | |

Решение:

3. Т.к. все точки входят в область значений функции, то точек разрыва НЕТ.
4. Вертикальных асимптот у графика функции нет, т.к. нет точек разрыва.
Правая и левая наклонные асимптоты имеют уравнение: , где:
т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение
имеет вид: , т.е. - уравнение горизонтальной асимптоты.
5. Найдем точки экстремума заданной функции. Для этого найдем ее первую
производную:

Т.к. если у функции есть точка экстремума, то в этой точке первая
производная функции равна нулю, т.е. :
, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. , отсюда
, следовательно , значит точка - точка экстремума функции.

На участке производная > 0, значит, при , заданная функция
возрастает.

На участке производная < 0, значит, при , заданная функция
убывает (рис 2.).

Следовательно - точка максимума заданной функции .

6. Найдем участки выпуклости/вогнутости заданной функции. Для этого найдем
ее вторую производную:

Т.к. если у функции есть точка перегиба, то в этой точке вторая производная
функции равна нулю, т.е. :
, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. , значит
, тогда , отсюда
Отсюда , .
На участке производная >0, значит это участок вогнутости графика
функции.

На участке производная >0,
значит это тоже участок вогнутости графика функции.
Следовательно, при график заданной функции является вогнутым.
На участке производная <0, значит, при график заданной
функции является выпуклым (рис. 3).

Следовательно, точки , - точки перегиба графика заданной функции
.

Выполненные исследования заданной функции позволяют построить ее график
(см. рис. 4).

Часть II.

Задание №8. Вопрос №8.

Фирма производит товар двух видов в количествах и. Задана
функция полных издержек . Цены этих товаров на рынке равны и
. Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная
прибыль, найти эту прибыль.
, ,

Решение:

Пусть - функция прибыли, тогда

Найдем первые частные производные функции :
, . Найдем стационарные точки графика функции . Для этого
решим систему:

Следовательно - стационарная точка. Проверим ее на экстремум, для
этого
введем обозначения: , , ,
тогда , , , . Т.к. > 0, то экстремум есть, а т.к.
< 0, то это максимум. Следовательно, при объемах выпуска и ,
достигается максимальная прибыль равная:

|Ответ: | и достигается при объемах выпуска и . |

Задание №12. Вопрос №9.

|Вычислить неопределенный интеграл: | |

Решение:

|Ответ: | |

Задание №14. Вопрос №2.

Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость)
.

Решение:

|Ответ: |Данный несобственный интеграл – расходящийся. |
Задание №15. Вопрос №6.

|Решить уравнение | |

Решение:

. Разделив обе части на , получим . Проинтегрируем
полученное уравнение . Представим , как , тогда

|Ответ: |Решением данного уравнения является . |

Задание №18. Вопрос №9.

|Найти общее решение уравнения: | |

Решение:

Найдем корни характеристического уравнения: , тогда ,
следовательно , , тогда
фундаментальную систему решений образуют функции:
,
Т.к. действительные и мнимые решения в отдельности являются решениями
уравнения, то в качестве линейно независимых частей решений и ,
возьмем , , тогда общее решение однородного уравнения будет иметь
вид:
Представим правую часть уравнения, как и сравним с выражением,
задающим правую часть специального вида:
. Имеем , , тогда т.к. - многочлен второй степени, то
общий вид правой части: . Найдем частные решения:
, ,

Сравним коэффициенты при слева и справа, найдем , решив систему:
, отсюда .
Тогда общее решение заданного неоднородного линейного уравнения имеет вид:
.

|Ответ: |. |

Дополнительно Часть I.

Задание №7. Вопрос №1.

Найти предел: .

Решение:

|Ответ: |Заданный предел равен . |

Задание №9. Вопрос №8.

Найдите уравнение асимптот и постройте их графики:
.

Решение:

1. Область определения данной функции: .
2. Т.к. точка не входят в область значений функции, то это точка
разрыва, а т.к. и , следовательно, уравнение – уравнение
вертикальной асимптоты.

3. Уравнения правой и левой наклонных асимптот имеют вид: , где:

т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение наклонной

асимптоты имеет вид: .

Для построения графиков асимптот (см. рис. 5), найдем
точки пересечения наклонной асимптоты с осями
координат:

С осью OX: точка,
с осью OY: точка

|Ответ: | и – уравнения асимптот заданной функции.|

Задание №11. Вопрос №6.

Исходя из определения производной, докажите: .

Решение:

Т.к. по определению производная функции в точке вычисляется
по формуле , тогда приращение в точке : .
Следовательно .

|Ответ: |. |

Задание №15. Вопрос №1.

Найдите пределы, используя правило Лопиталя: .

Решение:

|Ответ: |Заданный предел равен . |

Дополнительно Часть II.

Задание №7. Вопрос №1.

Написать в точке уравнение касательной плоскости к поверхности,
заданной уравнением: .

Решение:

Уравнение касательной плоскости к графику функции в точке
имеет вид: . Поэтому, продифференцируем заданное уравнение
поверхности: . Подставив в полученное уравнение координаты точки
вместо значений переменных, и заменив дифференциалы переменных на их
приращения, получим:

Задание №9. Вопрос №8.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области:
.

Решение:

Т.к. заданная функция дифференцируется в замкнутой ограниченной
области, то свое наибольшее/наименьшее значение она достигает или в
стационарной точке внутри области дифференцирования, или на границе
области.
Найдем стационарные точки заданной функции, для этого решим систему:
, точка не принадлежит заданной области дифференцирования,
значит стационарных точек внутри области нет, следовательно,
наибольшее/наименьшее значение функцией достигается на границе области
дифференцирования. Граница области ограничена окружностями и .
Найдем наибольшее/наименьшее значение на границах области
дифференцирования. Для этого составим функцию Лагранжа:
1. , тогда , , следовательно, система уравнений для
определения координат экстремальной точки имеет вид:

2. , тогда , ,
следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной
точки имеет вид:

Следовательно, заданная функция в заданной области дифференцирования
достигает наибольшего значения в точках и и наименьшего в
точках и при этом графики функций и касаются
окружности в точках , и , соответственно (см.
рис.6).

Задание №11. Вопрос №6.

Вычислить неопределенный интеграл: .

Решение:

|Ответ: |Заданный неопределенный интеграл равен . |

Задание №15. Вопрос №1.

Решить уравнение: .

Решение:

. Разделив обе части на , получим . Проинтегрируем
полученное уравнение:

|Ответ: |Решением данного уравнения является . |

-----------------------
Рисунок 2.

Исследование на экстремум.

Рисунок 1.

График функции спроса и предложения.

Рисунок 4.

|График заданной функции | |

Рисунок 3.

Исследование на выпуклость.

Рисунок 5.

Графики асимптот функции

Рисунок 6.

График наибольших/наименьших значений функции при .