Математические примеры .

Фирсов Дмитрий 441
№368В
Отобразить верхнюю половину плоскосто сразрезами по отрезкам
на верхнюю полуплоскость.
Решение:
Отображение отображает верхнюю полуплоскость с разрезами на
верхнюю полуплоскость без разрезов (под операцией взятия в квадратные
скобки надо пономать взятие целой части от числа). Докажем это:
Рассмотрим отображение из полосы полуплоскости
сразрезами в полуплоскость без разрезов. (*) совершенно очевидно
,что в нашем случае . То есть, мы получаем верхнюю полуплоскость
без действительной оси. Рассмотрим образ луча . Подставляя в
формулу (*) значения z на луче мы получим в образе луч, лежащий на
действительной оси . В результате мы получили, что образом полосы
(1) является . Если на полосу плоскости без разреза
подействовать отображением sin(Z) то в образе получим такое множество
(2). Применив отображение к полосе(1) с разрезом в образе
получим множество (2). Поэтому функция отображает полосу с
разрезом в полосу без разреза. Продолжим эту функцию на всю
полуплоскость с разрезами. Рассмотрим функцию заданную в полосе
с разрезом. Функция отображает эту полосу на полосу
без разреза. И тогда отображение отображает полосу без
разреза. Проверим является ли функция аналитическим продолжением
функции . Для этого применим теорему:
Теорема.
Пусть функция аналитична в области и функция
аналитична в области . И области и имеют общий
фрагмент граници . Если функции на совпадают то функция
является аналитическим продолжением функции в область
.
Естественно функции и совпадают на луче . Поэтому
функция является аналитическом продолжением функции на
полосу . Совершенно аналогично мы можем продолжмть функцию на всю
верхнюю полуплоскость с вырезами. И в результате получим функцию:
отображающую верхнюю полуплоскость с вырезами на верхнюю полуплоскость
без вырезов.