Граничные условия общего вида .

                                    План.

1. Сопряженный оператор.
2. Сопряженная однородная задача.
3. Условия разрешимости.



                            Сопряженный оператор.

Обозначим через  дифференциальный оператор второго порядка, т.е.
       (1)
где  представляют собой непрерывные функции в  промежутке  .  Если
 и  -  дважды  непрерывно  дифференцируемые  на  функции,  то
имеем:
       (2)
Как и в предыдущем  параграфе,  интегрирование  соотношения  (2)  по  частям
дает:
 (3)
Обозначим дифференциальный оператор, входящий в подынтегральное выражение  в
правой части (3) через , т.е.      (4)
При этом соотношение (3) перепишется так:
 (5)
Оператор   называется  сопряженным  по  отношению  к  оператору  .
Умножая соотношение (4)  на    и  интегрируя  полученный  результат  по
частям, по отношению к оператору . Таким  образом,  операторы    и
 взаимно сопряжены.
Как и в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение:
(6)
будем называть сопряженным дифференциальному уравнению:
(7)
Если же , то оператор   и  дифференциальное  уравнение  будем
называть сопряженными. Сравнивая выражения (1) и  (5),  приходим  к  выводу,
что  тогда и только, когда:

Таким образом, оператор   будем  самосопряженным тогда и только  тогда,
когда .
При этом:

Так как любое дифференциальное уравнение  вида  (7)  можно  преобразовать  в
самосопряженную форму, умножив на функцию .
Дифференцируя соотношение (5) по  ,  получаем  так  называемую  формулу
Лагранжа:
 (8)
Правая часть этой формулы может быть записана как:
       (9)
где
   (10)
Отметим, что:
 и следовательно, матрица  -невырожденная.  Подстановка  выражения
(9) в соотношение (8) дает:
(11)

                       Сопряженная однородная задача.

Введем  следующее  невырожденное  линейное  преобразование    в  вектор
:
(12),
где
       
Заметим, что указанное  преобразование  может  быть  выполнено  бесчисленным
множеством способов,  в  зависимости  от  выбора  матрицы  А.  При  заданном
ненулевом векторе две последние строки матрицы  А  можно  выбрать  так,
чтобы придать  любые  требуемые  значения  компонентам.  Это  замечание
используется  в  дальнейшем  при  нахождении  вида   сопряженных   граничных
условий. Поскольку , мы можем обратить преобразование (12) и  получить:

.
При этом (11) можно переписать как:

или
 (13),
где    (14)
Билинейная  форма    в   соотношении   (13)   называется   каноническим
представлением билинейной формы в правой части тождества (11).
Для того  чтобы  найти  граничные  условия  сопряженной  задачи,  положим  в
соотношении (13)
и и получим:
 (15)
Из формулы (21) следует,  что  однородные  граничные  условия,  эквивалентны
равенствам:
 (16)

 (17)
С учетом равенств (16) и (17) соотношение (15) принимает вид:
 (18)

При ненулевом векторе   последние  две  строки  матрицы  А  могут  быть
выбраны так, чтобы  компоненты    и    принимали  любые  требуемые
значения, лишь  бы    и  не  обращались  в  нуль  одновременно.  В
частности, нижние строки матрицы А можно выбрать из условия . При  этом
из соотношения (11) следует, что . Аналогичным образом,  нижние  строки
матрицы А можно выбрать так, чтобы выполнялись равенства . При этом  из
соотношения (11) вытекает, что .  Таким  образом,  задача,  сопряженная
задаче (19)

имеет вид:

 (20)

где  и  связаны с компонентами   вектора    соотношением
(14). Краевая задача (19) называется самосопряженной тогда и  только  тогда,
когда и каждая из  двух  компонент    и    является  линейной
комбинацией  и , т.е. пропорциональна .

Один из определителей:



матриц-блоков



должен  быть  отличным  от  нуля.  Чтобы  иметь  возможность  сравнить   эти
результаты  с  теми.  которые  были   получены   в   предыдущем   параграфе,
предположим. что . Далее, выберем  такие  и  ,  чтобы  строки
матрицы А были линейно независимы.

Например, положим и .

При этом матрица А примет вид:

            (21).

Из формулы (19) следует, что .

Тогда

 (22)

Подставляя матрицы (20) и (9) в соотношение (14) имеем (14а):

Следовательно, граничные условия сопряженной задачи имеют вид:

 (22)
   (23)
Для того, чтобы  краевые  задачи  были  самосопряженными  необходимо,  чтобы
  и  чтобы  каждая  из  компонент    и    являлась   линейной
комбинацией  и .  Как  указывалось  выше,    тогда  и  только
тогда, когда . При этом условия (21) и (20)  принимают вид:
 (24)
Разрешая равенства относительно  и  при  и заменяя    на
, получаем:
       (25)
Сравнивая граничные условия (24) и (25), заключаем, что они совпадают  тогда
и только тогда, когда:

            (26)

Краевая  задача  при    самосопряжена  тогда  и  только  тогда,   когда
выполнены соотношения (24) и равенство .

                            Условие разрешимости.

Определив  сопряженную  краевую  задачу,  вернемся  к  решению  неоднородной
задачи. Используя определение (25), перепишем формулу Грина в виде:

 (27)

,

тогда из соотношения (27) вытекает, что условие разрешимости имеет вид:



       (27)

Для того, чтобы сравнить условие (27) с  условием  разрешимости,  используем
связь  и  с вектором , описываемую формулой (14а) т.е.:

 (28)

При этом соотношение (27) принимает вид:



Если иметь дело с граничными условиями общего  вида  можно  выразить  какие-
либо два из граничных значений через два других.