Элементарные конформные отображения .

                                    ЕЛЕЦ
                  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ.



                               КУРСОВАЯ РАБОТА
                         ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

                 Тема: «Элементарные конфортные отображения»



                                            Выполнила: студентка группы М-31
                                           физико-математического факультета
                                                               Е.Г. Петренко


                                                       Научный руководитель:
                                                                О.А. Саввина



                                   1998 г.
                 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Краткая справка. Пусть имеются два множества комплексных точек и
. Если задан закон , ставящий в соответствие каждому  точку
(или точки) , то говорят, что на множестве задана функция
комплексной переменной со значениями в множестве . Обозначают это
следующим образом: . (Часто говорят также, что отображает
множество в множество .)
  Задание функции  эквивалентно заданию двух действительных функций
 и тогда  , где , . Как и в обычном анализе, в теории
функций комплексной переменной очень важную роль играют элементарные
функции. Рассмотрим некоторые из них.
    1.   - линейная функция. Определена при всех .
Отображает полную комплексную плоскость на полную комплексную
плоскость  . Функция и обратная ей - однозначны. Функция
поворачивает плоскость на угол, равный , растягивает
(сжимает) ее в  раз и после этого осуществляет параллельный сдвиг на
величину . Непрерывна на всей комплексной плоскости.
    2.  . Определена на всей комплексной плоскости, причем ,
. Однозначна, непрерывна всюду, за исключением точки . Отображает
полную комплексную плоскость на полную комплексную плоскость ,
причем точки, лежащие на единичной окружности, переходят в точки этой же
окружности. Точки, лежащие внутри окружности единичного радиуса, переходят
в точки, лежащие вне ее, и наоборот.
    3.   - показательная функция. По определению , т.е. ,
, . Из определения вытекают формулы Эйлера:
                           ; ;       ;
Определена на всей комплексной плоскости и непрерывна на ней.
периодична с периодом . Отображает каждую полосу, параллельную
оси , шириной  в плоскости в полную комплексную
плоскость . Из свойств отметим простейшие:  , 
      4.  - логарифмическая функция (натуральный логарифм). По
определению: .   Выражение          называется главным
значением , так что . Определен для всех комплексных чисел, кроме
.  - бесконечно-значная функция, обратная к . , 
    5.   - общая показательная функция. По определению, .
Определена для всех , ее главное значение , бесконечно-значна.
    6. Тригонометрические функции ;;;  По определению,
;   ;
                                  ;       
    7.  Гиперболические функции. Определяются по аналогии с такими же
функциями действительной переменной, а именно:
                            , 
  Определены и непрерывны на всей комплексной плоскости.

                             Задачи с решением.
1) Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел: ,
, , ,
  Решение. По определению,    ,, ; если , то очевидно,
, ,
                    ,  ,  
                  ,   , , 
                  , , , 
  Найти суммы:
                     1)      
                     2)      
  Решение. Пусть:      , а
                                  . Умножим вторую строчку на ,
сложим с первой и, воспользовавшись формулой Эйлера, получим: 
; Преобразуя, получим:
              ,     
  3. Доказать, что:      1)         2)
                                       3)           4)
  Доказательство:
  1) По определению, 
  2) 
  3)  ; 
Выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительного
аргумента действительные и мнимые части, а также модули следующих функций:
1) ; 2) ; 3) ;
Решение:  и, учитывая результаты предыдущего примера, получим:
, , ,

Напомним, что 
  2) 
  ,  ,
  
  3) 
    ,   ,
              ,  .
  Найти действительные и мнимые части следующих значений функций:
  ;   ; 
  Решение. Следуя решению примера 4, будем иметь:
   ;   ;   ; ;
                 ; 
  Вычислить:      1) ;          3)   ;               5) ;
                2) ;     4)  ;       6)  ;
  Решение. По определению, , 
1),          ,       ,
                                          
2) ,       ,        ,
                                          
3) ,          ,       , 
4),      ,   ,
                                          
 5), ,  ,
                                           
 6),      ,   ,      
  Найти все значения следующих степеней:
      1) ;        2)  ;       3) ;         4);
  Решение. Выражение   для любых комплексных  и определяются
формулой 
1) 
2)
3)  
4) .
8. Доказать следующие равенства:
                            1)   ;
                            2)  ;
                            3)   
Доказательство:   1) , если , или  , откуда  , или
.
Решив это уравнение, получим , т.е.  и 
2) , если , откуда  , или , следовательно,
             ,     
3) , если , откуда , или
     .
Отсюда  , следовательно,